Con colpevolissimo ritardo vi annuncio due seminari di geometria, uno oggi e uno domani. Siete ovviamente tutti invitati, A presto, Bruno

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27-Mar-2018 - 15:00 Aula Magna (Dip. Matematica) http://www.dm.unipi.it/webnew/it/aula/aula-magna-dip-matematica Condizioni di stabilita' di Bridgeland e applicazioni http://www.dm.unipi.it/webnew/it/seminari/condizioni-di-stabilita-di-bridgeland-e-applicazioni Emanuele Macrì Northeastern University

Una delle idee principali nella teoria delle categorie derivate, dovuta a Bondal e Orlov negli anni Novanta, e' che la categoria derivata dei fasci coerenti su una varieta' proiettiva liscia dovrebbe contenere informazioni molto interessanti sulla geometria della varieta' stessa, ad esempio, sulle proprieta' birazionali.

Un modo congetturale per ottenere alcune di queste informazioni e' l'utilizzo della teoria degli spazi di moduli di oggetti nella categoria derivata, generalizzando l'usuale teoria degli spazi di moduli di fibrati vettoriali. Nel 2003, Bridgeland ha introdotto il concetto di condizione di stabilita' per categorie derivate; questo permette di definire e studiare suddetti spazi di moduli di oggetti.

In questo seminario, faro' un'introduzione alla teoria di Bridgeland, concentrandomi in particolare sulle applicazioni della teoria stessa a problemi di geometria algebrica classica. Presentero', ad esempio, la recente dimostrazione, dovuta a Bayer, del teorema di Brill-Noether su curve, la descrizione del cono dei divisori nef su uno schema di Hilbert dei punti su una superficie (ottenuta in collaborazione con Bayer) e infine, tempo permettendo, connessioni con la questione della razionalita' per varieta' cubiche in dimensione 4 (in collaborazione con Bayer, Lahoz, Nuer, Perry e Stellari). ----

28-Mar-2018 - 15:00 Aula Magna (Dip. Matematica) http://www.dm.unipi.it/webnew/it/aula/aula-magna-dip-matematica Cohomological and metric aspects in non-Kähler geometry http://www.dm.unipi.it/webnew/it/seminari/cohomological-and-metric-aspects-non-ka%CC%88hler-geometry Daniele Angella Università di Firenze

Kähler geometry provides analytic techniques to extend results from the algebraic to the transcendental setting. Non-Kähler geometry is then the attempt to perform a separate analysis of the complex and symplectic contributions. The very ultimate aim is a tentative classification of compact complex manifolds, by means of cohomological invariants and canonical Hermitian metrics.

In this talk, we summarize some results in these directions. From the cohomological point of view, we investigate the Bott-Chern cohomology of complex manifolds. Beside the de Rham and the Dolbeault cohomologies, it provides further information on the holomorphic structure. The "difference" between Bott-Chern and de Rham cohomolo- gies is measured: we characterize its vanishing, that is, the property of cohomological decomposition known as ∂∂-Lemma. Recall that the ∂∂-Lemma is a fundamental tool in Kähler geometry, for example in translating the statement of the Calabi conjecture to a Monge-Ampère equation. We study the behaviour of the ∂∂-Lemma under nat- ural operations such as deformations of the complex structure and modifications. In particular, it turns out to be a bimeromorphic invariant of compact complex threefolds.

From the metric point of view, the first issue is the identification of a

notion of special or even canonical metric. For example, we study the existence of Hermitian metrics with constant scalar curvature with respect to the Chern connection in conformal classes. This provides an analogue of the Yamabe problem in complex geometry. On the other side, the Strominger system for spacetime supersymmetry in heterotic string theory suggests a role for balanced metrics, namely, Hermitian metrics with coclosed associated form. This notion too is a bimeromorphic invariant of compact complex manifolds.

It is conjectured that metrics of balanced type always exist on compact complex manifolds satisfying the ∂∂-Lemma. This and similar problems can be rephrased in solving equations of Monge-Ampère and k-Hessian type.

(The talk in based on joint works with Simone Calamai, Hisashi Kasuya, Cristiano Spotti, Tatsuo Suwa, Nicoletta Tardini, Adriano Tomassini, and others.)