Alessandro D'Andrea (Università di Roma La Sapienza)
Finitezza di algebre di vertice invarianti
Se V è un'algebra di operatori di vertice, e G è un gruppo riduttivo di automorfismi graduati di V, è stato osservato in svariati esempi che se V è finitamente generato, anche la sottoalgebra invariante V^G è finitamente generata.
L'analogo risultato per algebre commutative graduate è noto dai tempi di Hilbert; il tentativo di generalizzare questo risultato ad algebre commutative differenziali, tuttavia, fallisce, ed è facile costruire esempi di algebre differenziali (differenziabilmente) finitamente generate con una ottoalgebra invariante, rispetto ad un gruppo finito di automorfismi, che non è (differenziabilmente) finitamente generata.
Questo costituisce un problema, perché ogni algebra commutativa differenziale costituisce un esempio, sebbene non interessante, di algebra di vertice. Ogni tentativo di dimostrare una versione "quantum" del teorema di Hilbert deve quindi spiegare il ruolo giocato dagli aspetti quantistici/non commutativi nello studio della finitezza di un'algebra di vertice.
Il seminario sarà diviso in due parti. Nella prima, più elementare, ripercorrerò la dimostrazione di Hilbert nel caso (commutativo) classico, e motiverò una definizione, leggera, del concetto di algebra di vertice.
Nella seconda parte, spiegherò perché ogni algebra di operatori di vertice semplice soddisfa una condizione di noetherianità sugli ideali destri; la dimostrazione dipende in maniera essenziale dall'uso di associatori, che si annullano nel caso commutativo. Enuncerò anche una possibile strategia per dimostrare la finita generazione della sottoalgebra invariante.