ingandu October 2014

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[Ingandu] argomenti di oggi
by Vincenzo Tortorelli 31 Oct '14

31 Oct '14

Ven 31/10/2014 11:30-12:30 (1:0 h) lezione: Grafico f:A->Rm, A in R= immagine di g:A->R(m+d), g(x)=(x, f(x))=insieme di livello di F:AxRm->Rm, F(x,z)= f(x)-z. f differenziabile in p: il tangente al grafico in P=(p,f(p)) e': 1- graf.della funz. lineare d_pf x traslato in P; 2- immagine della funz.lin. (x,d_pf x)=d_p (y,f(y)) x tras. in P; 3- nucleo della funz. lin. d_pfx - z= d_(p,v)(f(y)-v)(x,z) tras. in P. SLOGAN:1 tangente a grafico e' grafico traslato del differenziale, 2 tan. a immagine e' l'immagine tras. del diff., 3 tan. a luogo di zeri e' il nucleo tras. del diff.. DOMANDE: A)L'immagine di g:A->Rh vicino a p in A e' grafico di f: Rd->R(h-d)? E' vero 2? permette di non calcolare f per trovare il tangente. B)L'insieme di livello di F:Rh->Rm vicino a p e' grafico di una f:R(h-m)->Rm? E' vero 3? DIM. derivata f(c(t)), t in R. DIM. Teo.9 grad f(p) non nullo direzione di massima pendenza in p, sua norma massima pendenza, ortogonale alle curve per p a valori in {f(x)=f(p)}. (Vincenzo Maria Tortorelli) Riferimenti libro Acquistapace: Derivabilita' della composizione con curve: 1 Vol. cap.4.5 pag.241 (non usa il lemma che immagine lineare di un `o' e' un `o' la dimostrazione e' un pochino piu' lunga di quella vista a lezione). Gradiente come direzione di massima pendenza e ortogonalita' alle curve con valori nell'insime di livello: 1 Vol. cap.4.2 pagg.226-227. ATTENZIONE, ATTENZIONE: la trattazione fatta nel libro dell'ortogonalita' alle pagg.227-228 e' molto piu' difficile di quella esposta a lezione: qui dimostra gia' che l'insieme di livello ha un piano tangente. Invece a lezione abbiamo semplicemente detto che se una curva c(t) e' a valori nell'insieme di livello {x: f(x)=f(p)} e c(0)= p allora grad f(p) e' ortogonale a c'(0), semplicemente derivando la relazione f(c(t))= f(p). immagini: 2 Vol. cap. 1.9 pag. 93 osservazione preliminare al teorema del rango pagg.95-96 osservazioni ed esempi. 2 Vol. cap. 4.9 pag. 451-453. luoghi di zeri: 2 Vol.cap.1.9 esempi ed osservazioni pagg.72-73 , pag.88, esempio 1.9.4 pag. 76, osservazioni preliminari al teorema di invertibilita' pag. 93.

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[Ingandu] mailing list
by Vincenzo Tortorelli 30 Oct '14

30 Oct '14

Salve cortesemente prego chi si e' iscritto, o si volesse iscrivere, alla mailing-list di mettere nell'ordine anche Cognome Nome e numero di matricola. Alcuni non l'hanno fatto se pur iscritti. VMT

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[Ingandu] avviso di massima e argomenti di oggi
by Vincenzo Tortorelli 30 Oct '14

30 Oct '14

Ricordo che: - nella pausa esami tra il primo e il secondo semestre come richiesto da alcuni di voi vi sara' la prova in itinere fiscale. - subito prima delle vacanze di Natale cercheremo di organizzare una simulazione in classe di prova in itinere. -quest'anno essendo la prima volta che si tiene questo corso non possono esserci esercizi da esame con soluzioni. L'idea e' che tra i libro di Acquistapace, i fogli di esercizi, e gli esercizi proposti a lezione ed esercitazione abbiate diversi temi su cui cimentarvi. Quindi per le soluzioni venite a ricevimento. Oggi in sostanza abbiamo fatto esercitazione con un ampio richiamo alle notazioni per il piano tangente ad un grafico, ieri introdotte, e un assaggio riguardante la differenziabilita' di funzioni composte: Gio 30/10/2014 08:30-09:30 (1:0 h) esercitazione: - Iperpiano tangente al grafico come traslato del grafico della funzione lineare data dal differenziale:vettore normale al grafico, e base della giacitura del tangente al grafico tramite i vettore della base canonica sul dominio e le rispettive derivate parziali. - Angolo (coseno dell'angolo) tra i sostegni di due curve in un punto di incidenza. Angolo tra due iperpiani come angolo tra i vettori normali. Angolo tra due grafici in un punto di incidenza come angolo tra gli iperpiani tangenti. -Dati due cilindri circolari retti di raggio unitario con assi inciedenti e perpendicolari trovare l'angolo nei punti di intersezione delle due superfici. (Vincenzo Maria Tortorelli) Gio 30/10/2014 09:30-10:30 (1:0 h) esercitazione: In compresenza con la dottoressa Laura Cremaschi: esercizio sulla differenziabilita' di f(x,y)=1+ ((x-1) y^2)^(1/3}: vari modi per calcolare le derivate parziali, uso del teorema del differenziale totale, non esistenza derivate parziali comporta non differenziabilita', dipendenza non lineare delle derivate direzionali in un punto dalle derivate parziali nello stesso comporta non differenziabilita. Derivate direzionali come derivate di funzioni composte, derivata della composizione con una curva regolare nel caso di differenziabilita'= derivata direzionale rispetto al vettore velocita'. (Vincenzo Maria Tortorelli) VMT

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[Ingandu] (senza oggetto)
by Vincenzo Tortorelli 29 Oct '14

29 Oct '14

Argomenti di oggi: Mer 29/10/2014 14:30-16:30 (2:0 h) lezione: DIMOSTRAZIONE Teorema del differenziale totale (Teo.4). DIM. Lemma della trasformazione lineare di un `o'. Derivate direzionali e differenziale (Teo. 5). Differenziale della somma e del prodotto: lo spazio vettoriale C1(Omega, Rm) (Teo.6). Controesempio: funzione continua e con tutte le derivate direzionali nulle in un punto ma non differenziabile nel punto. DIM. diseguaglianza del valor medio integrale per funzioni vettoriali C1 (Teo 7). Iperpiano tangente al grafico come traslato del grafico della funzione lineare data dal differenziale:vettore normale al grafico, base della giacitura del tangente al grafico tramite i vettore della base canonica sul dominio e le rispettive derivate parziali (Teo. 8). (Vincenzo Maria Tortorelli) Riferimenti al libro di Paolo Acquistapace: 1 Vol. cap. 4.2 piano tangente pag. 224, derivate direzionali pag. 224-226, esercizi pagg.228-230. 1 Vol. cap. 4.4 Teorema del differenziale totale pagg. 238-239, esercizi pagg. 239-240. Per un richiamo agli integrali vettoriali e alla diseguaglianza triangolare negli integrali (da cui abbiamo ricavato la diseguaglianza integrale del vaolr medio) 1 Vol. cap. 5.5 pag.323. VMT

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[Ingandu] terzo foglio di esercizi
by Vincenzo Tortorelli 28 Oct '14

28 Oct '14

In allegato file pdf con esercizi sulle derivate parziali e la differenziabilita'. VMT

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[Ingandu] ricevimento
by Vincenzo Tortorelli 28 Oct '14

28 Oct '14

Salve, mercoledi dopo la lezione ci sara' ricevimento studenti ``doppio''essendo presente anche la dottoressa Cremaschi. VMT

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[Ingandu] argomenti oggi e riferimenti
by Vincenzo Tortorelli 24 Oct '14

24 Oct '14

Dunque oggi si sono analizzate le nozioni introdotte nella seconda parte della lezione di mercoledi: Ven 24/10/2014 11:30-12:30 (1:0 h) lezione: APPROSSIMAZIONE LINEARE.DIFFERENZIABILITA' IN UN PUNTO:per definizione l'errore di approssimazione degli incrementi della funzione con una funzione lineare degli spostamenti nel dominio non solo e' infinitesima rispetto a questi ma e' indipendente dalla direzione. Teo. 1 DIMOSTRAZIONE Se f:Rd->Rm e' differenziabile in un punto allora ha le derivate parziali in quel punto, e nelle coordinate usuali di Rd e Rm, la matrice associata all'applicazione lineare differenziale nel punto, e' quella che ha come colonne le derivate parziali della funzione nel punto: matrice Jacobiana. Matrice dei gradienti: la trasposta della Jacobiana. Teo. 2 DIM. Se f e' differenziabile in p allora e' continua in p. Teo. 3 F e' differenziabile se solo se lo e' per componenti. Controesempio (il solito) funzione con derivate parziali in un punto e non differenziabile. Teo. 4 Enunciato teorema differenziale totale. COMPITO A CASA studiar la dimostrazione, per discuterne insieme. Per i riferimenti al libro di Acquistapace in rete che riguardano gli argomenti trattati nelle due ultime lezioni: Integrali di funzioni a valori in Rm: 1 Vol. cap. 5.5 pagg. 323 definizione e diseguaglianza triangolare. Generazione di funzioni continue: 1 Vol. cap.3.2 esem. 3.2.5 pag. 179 le affini sono Lipschitziane, esem. 3.2.6 pag.181 controesempio separata continuita', esercizi 3.2.1 pag.181 (composizione di continue), 3.2.5 pag 182 (prodotto), 3.2.8 pag.182 (componenti). Differenziabilita' e derivate parziali: 1 Vol. cap 4.2 derivate parziali ed esempi pagg.221-222, differenziabilita' e Teoremi 1 e 2 dimostrati a lezione proposizione 4.2.5, punti ii) ed i) rispettivamente, pagg. 222-223. Piano tangente definizione 4.2.8 pag. 224. Il Teorema 4 enunciato a lezione e' il teorema del differenziale totale 1 Vol. cap. 4.4 pagg.238-239. Il teorema 3 enunciato a lezione, cioe' la differenziabilita' delle funzioni vettoriali, e' dimostrato implicitamente nell'enunciato, e nella sesta riga della dimostrazione, del teorema 4.5.2 a pag. 242 sempre nel Volume 1. Bene mi sembra ci sia tutto vedete un po la dimostrazione del teorema del differenziale totale che sara' l'inizio della prossima lezione. VMT

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[Ingandu] stamani
by Vincenzo Tortorelli 23 Oct '14

23 Oct '14

Stamani abbiamo fatto esercizi molto di base sulla convergenza di funzioni: Gio 23/10/2014 08:30-10:30 (2:0 h) esercitazione: ESERCITAZIONE SUPPLEMENTARE CON CLASSE RIDOTTA PER USCITA SAIE STUDENTI CURRICULUM EDILE: esercizi molto di base su convergenza puntuale, uniforme, in norma integrale e quadratica: f_n(x)= 1 x tra n e n+1, 0 altrimenti; f_n(x) = n x tra 0 e 1/(n al quadrato); f_n(x)= x^n x tra 0 e 1; f_n(x) = min{ 1/(radice di x) , n}. Vari implicazioni tra le diverse convergenze e controesempi. Applicazione della di seguaglianza di Cauchy-Schwartz per mostrare che f_n--> f in semi-norma integrale quadratica su un intervallo limitato allora f_n--> f in semi-norma integrale. (Vincenzo Maria Tortorelli) Mi raccomando che qualcheduno dei presenti si offra volontario per rivedere insieme a me i suoi appunti di stamattina e poterli fornire agli assenti. A domattina. VMT

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[Ingandu] (senza oggetto)
by Vincenzo Tortorelli 22 Oct '14

22 Oct '14

Salve tre cose: 1- siete pregati di parecipare alle lezioni, abbiamo superato un primo scoglio di vocabolario un po astratto, ma ora si stanno introducendo le basi del calcolo differenziale in piu' variabili, e anche durante le lezioni, come e' successo oggi, sara' necessario esaminare semplici esempi controesempi ed esercizi. 2- ancora di piu' consiglio fortemente di organizzarsi per venire a ricevimento (come gia' comunicato il mercoledi al polo alle 16,30 abbiamo un' auletta, e poi su appuntamento): da esperienza personale ho rilevato che c'e una forte correlazione diretta tra la percentuale degli studenti di una classe che `passano' l'esame in tempi ragionevoli e' quella degli studenti che `partecipano' al corso interagendo con i docenti durante i ricevimenti che dovrebbero essere unpo il cuore del corso perche' dovreste esser voi a porre domande e a parlare: noi lo facciamo durante l'anno a lezione e agli esami. 3- domani saremo di meno: non me la sento di andare avanti nel programma, mancando meta' degli studenti. Non me la sento nemmeno di saltare la lezione. Quindi saranno due ore in cui esamineremo esercizi su quanto visto finora, cercando di separar quelli di base (diciamo `facili') da quelli piu' impegnativi o astratti. Quindi quanto svolto oggi e' stato: 13. Mer 22/10/2014 14:30-16:30 (2:0 h) lezione: RICHIAMI: R1 correzione: la norma dell'estremo superiore si dice norma uniforme non Loo. R2 Le seminorme integrali DIM. sono norme sulle funzioni continue. R3 R4 DIM. distanze da un punto e prodotti scalari sono continui.PENDENZA LIMITATA: Lipschitzianita'. R5 DIM. nei prehilbert la norma e' il massimo di prodotti scalari sulla palla unitaria, DIM.diseguaglianza triangolare in norma per integrali di funzioni vettoriali di una variabile. GENERAZIONE DI FUNZIONI CONTINUE VETTORIALI DI PIU' VARIABILI: composizione, DIM. riduzione al caso scalare, DIM. lineari->lipschitziane: funzioni coordinate, DIM. bilineari: prodotti di coordinate. APPROSSIMAZIONE LOCALE DI FUNZIONI DI PIU' VARIABILI: dalla derivata alla definizione generale di differenziabilita'. Derivate parziali esempi, geometria e definizione. (Vincenzo Maria Tortorelli) A domattina. VMT

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[Ingandu] PROVA
by Vincenzo Tortorelli 21 Oct '14

21 Oct '14

Scusate e' solo un messaggio di prova. VMT

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