October 2014 - ingandu@lists.dm.unipi.it - Mailing list

[Ingandu] argomenti di oggi
by Vincenzo Tortorelli 31 Oct '14

31 Oct '14

Ven 31/10/2014 11:30-12:30 (1:0 h) lezione: Grafico f:A->Rm, A in R= immagine di g:A->R(m+d), g(x)=(x, f(x))=insieme di livello di F:AxRm->Rm, F(x,z)= f(x)-z. f differenziabile in p: il tangente al grafico in P=(p,f(p)) e': 1- graf.della funz. lineare d_pf x traslato in P; 2- immagine della funz.lin. (x,d_pf x)=d_p (y,f(y)) x tras. in P; 3- nucleo della funz. lin. d_pfx - z= d_(p,v)(f(y)-v)(x,z) tras. in P. SLOGAN:1 tangente a grafico e' grafico traslato del differenziale, 2 tan. a immagine e' l'immagine tras. del diff., 3 tan. a luogo di zeri e' il nucleo tras. del diff.. DOMANDE: A)L'immagine di g:A->Rh vicino a p in A e' grafico di f: Rd->R(h-d)? E' vero 2? permette di non calcolare f per trovare il tangente. B)L'insieme di livello di F:Rh->Rm vicino a p e' grafico di una f:R(h-m)->Rm? E' vero 3? DIM. derivata f(c(t)), t in R. DIM. Teo.9 grad f(p) non nullo direzione di massima pendenza in p, sua norma massima pendenza, ortogonale alle curve per p a valori in {f(x)=f(p)}. (Vincenzo Maria Tortorelli) Riferimenti libro Acquistapace: Derivabilita' della composizione con curve: 1 Vol. cap.4.5 pag.241 (non usa il lemma che immagine lineare di un `o' e' un `o' la dimostrazione e' un pochino piu' lunga di quella vista a lezione). Gradiente come direzione di massima pendenza e ortogonalita' alle curve con valori nell'insime di livello: 1 Vol. cap.4.2 pagg.226-227. ATTENZIONE, ATTENZIONE: la trattazione fatta nel libro dell'ortogonalita' alle pagg.227-228 e' molto piu' difficile di quella esposta a lezione: qui dimostra gia' che l'insieme di livello ha un piano tangente. Invece a lezione abbiamo semplicemente detto che se una curva c(t) e' a valori nell'insieme di livello {x: f(x)=f(p)} e c(0)= p allora grad f(p) e' ortogonale a c'(0), semplicemente derivando la relazione f(c(t))= f(p). immagini: 2 Vol. cap. 1.9 pag. 93 osservazione preliminare al teorema del rango pagg.95-96 osservazioni ed esempi. 2 Vol. cap. 4.9 pag. 451-453. luoghi di zeri: 2 Vol.cap.1.9 esempi ed osservazioni pagg.72-73 , pag.88, esempio 1.9.4 pag. 76, osservazioni preliminari al teorema di invertibilita' pag. 93.

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[Ingandu] mailing list
by Vincenzo Tortorelli 30 Oct '14

30 Oct '14

Salve cortesemente prego chi si e' iscritto, o si volesse iscrivere, alla mailing-list di mettere nell'ordine anche Cognome Nome e numero di matricola. Alcuni non l'hanno fatto se pur iscritti. VMT

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[Ingandu] avviso di massima e argomenti di oggi
by Vincenzo Tortorelli 30 Oct '14

30 Oct '14

Ricordo che: - nella pausa esami tra il primo e il secondo semestre come richiesto da alcuni di voi vi sara' la prova in itinere fiscale. - subito prima delle vacanze di Natale cercheremo di organizzare una simulazione in classe di prova in itinere. -quest'anno essendo la prima volta che si tiene questo corso non possono esserci esercizi da esame con soluzioni. L'idea e' che tra i libro di Acquistapace, i fogli di esercizi, e gli esercizi proposti a lezione ed esercitazione abbiate diversi temi su cui cimentarvi. Quindi per le soluzioni venite a ricevimento. Oggi in sostanza abbiamo fatto esercitazione con un ampio richiamo alle notazioni per il piano tangente ad un grafico, ieri introdotte, e un assaggio riguardante la differenziabilita' di funzioni composte: Gio 30/10/2014 08:30-09:30 (1:0 h) esercitazione: - Iperpiano tangente al grafico come traslato del grafico della funzione lineare data dal differenziale:vettore normale al grafico, e base della giacitura del tangente al grafico tramite i vettore della base canonica sul dominio e le rispettive derivate parziali. - Angolo (coseno dell'angolo) tra i sostegni di due curve in un punto di incidenza. Angolo tra due iperpiani come angolo tra i vettori normali. Angolo tra due grafici in un punto di incidenza come angolo tra gli iperpiani tangenti. -Dati due cilindri circolari retti di raggio unitario con assi inciedenti e perpendicolari trovare l'angolo nei punti di intersezione delle due superfici. (Vincenzo Maria Tortorelli) Gio 30/10/2014 09:30-10:30 (1:0 h) esercitazione: In compresenza con la dottoressa Laura Cremaschi: esercizio sulla differenziabilita' di f(x,y)=1+ ((x-1) y^2)^(1/3}: vari modi per calcolare le derivate parziali, uso del teorema del differenziale totale, non esistenza derivate parziali comporta non differenziabilita', dipendenza non lineare delle derivate direzionali in un punto dalle derivate parziali nello stesso comporta non differenziabilita. Derivate direzionali come derivate di funzioni composte, derivata della composizione con una curva regolare nel caso di differenziabilita'= derivata direzionale rispetto al vettore velocita'. (Vincenzo Maria Tortorelli) VMT

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[Ingandu] (senza oggetto)
by Vincenzo Tortorelli 29 Oct '14

29 Oct '14

Argomenti di oggi: Mer 29/10/2014 14:30-16:30 (2:0 h) lezione: DIMOSTRAZIONE Teorema del differenziale totale (Teo.4). DIM. Lemma della trasformazione lineare di un `o'. Derivate direzionali e differenziale (Teo. 5). Differenziale della somma e del prodotto: lo spazio vettoriale C1(Omega, Rm) (Teo.6). Controesempio: funzione continua e con tutte le derivate direzionali nulle in un punto ma non differenziabile nel punto. DIM. diseguaglianza del valor medio integrale per funzioni vettoriali C1 (Teo 7). Iperpiano tangente al grafico come traslato del grafico della funzione lineare data dal differenziale:vettore normale al grafico, base della giacitura del tangente al grafico tramite i vettore della base canonica sul dominio e le rispettive derivate parziali (Teo. 8). (Vincenzo Maria Tortorelli) Riferimenti al libro di Paolo Acquistapace: 1 Vol. cap. 4.2 piano tangente pag. 224, derivate direzionali pag. 224-226, esercizi pagg.228-230. 1 Vol. cap. 4.4 Teorema del differenziale totale pagg. 238-239, esercizi pagg. 239-240. Per un richiamo agli integrali vettoriali e alla diseguaglianza triangolare negli integrali (da cui abbiamo ricavato la diseguaglianza integrale del vaolr medio) 1 Vol. cap. 5.5 pag.323. VMT

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[Ingandu] terzo foglio di esercizi
by Vincenzo Tortorelli 28 Oct '14

28 Oct '14

In allegato file pdf con esercizi sulle derivate parziali e la differenziabilita'. VMT

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[Ingandu] ricevimento
by Vincenzo Tortorelli 28 Oct '14

28 Oct '14

Salve, mercoledi dopo la lezione ci sara' ricevimento studenti ``doppio''essendo presente anche la dottoressa Cremaschi. VMT

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[Ingandu] argomenti oggi e riferimenti
by Vincenzo Tortorelli 24 Oct '14

24 Oct '14

Dunque oggi si sono analizzate le nozioni introdotte nella seconda parte della lezione di mercoledi: Ven 24/10/2014 11:30-12:30 (1:0 h) lezione: APPROSSIMAZIONE LINEARE.DIFFERENZIABILITA' IN UN PUNTO:per definizione l'errore di approssimazione degli incrementi della funzione con una funzione lineare degli spostamenti nel dominio non solo e' infinitesima rispetto a questi ma e' indipendente dalla direzione. Teo. 1 DIMOSTRAZIONE Se f:Rd->Rm e' differenziabile in un punto allora ha le derivate parziali in quel punto, e nelle coordinate usuali di Rd e Rm, la matrice associata all'applicazione lineare differenziale nel punto, e' quella che ha come colonne le derivate parziali della funzione nel punto: matrice Jacobiana. Matrice dei gradienti: la trasposta della Jacobiana. Teo. 2 DIM. Se f e' differenziabile in p allora e' continua in p. Teo. 3 F e' differenziabile se solo se lo e' per componenti. Controesempio (il solito) funzione con derivate parziali in un punto e non differenziabile. Teo. 4 Enunciato teorema differenziale totale. COMPITO A CASA studiar la dimostrazione, per discuterne insieme. Per i riferimenti al libro di Acquistapace in rete che riguardano gli argomenti trattati nelle due ultime lezioni: Integrali di funzioni a valori in Rm: 1 Vol. cap. 5.5 pagg. 323 definizione e diseguaglianza triangolare. Generazione di funzioni continue: 1 Vol. cap.3.2 esem. 3.2.5 pag. 179 le affini sono Lipschitziane, esem. 3.2.6 pag.181 controesempio separata continuita', esercizi 3.2.1 pag.181 (composizione di continue), 3.2.5 pag 182 (prodotto), 3.2.8 pag.182 (componenti). Differenziabilita' e derivate parziali: 1 Vol. cap 4.2 derivate parziali ed esempi pagg.221-222, differenziabilita' e Teoremi 1 e 2 dimostrati a lezione proposizione 4.2.5, punti ii) ed i) rispettivamente, pagg. 222-223. Piano tangente definizione 4.2.8 pag. 224. Il Teorema 4 enunciato a lezione e' il teorema del differenziale totale 1 Vol. cap. 4.4 pagg.238-239. Il teorema 3 enunciato a lezione, cioe' la differenziabilita' delle funzioni vettoriali, e' dimostrato implicitamente nell'enunciato, e nella sesta riga della dimostrazione, del teorema 4.5.2 a pag. 242 sempre nel Volume 1. Bene mi sembra ci sia tutto vedete un po la dimostrazione del teorema del differenziale totale che sara' l'inizio della prossima lezione. VMT

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[Ingandu] stamani
by Vincenzo Tortorelli 23 Oct '14

23 Oct '14

Stamani abbiamo fatto esercizi molto di base sulla convergenza di funzioni: Gio 23/10/2014 08:30-10:30 (2:0 h) esercitazione: ESERCITAZIONE SUPPLEMENTARE CON CLASSE RIDOTTA PER USCITA SAIE STUDENTI CURRICULUM EDILE: esercizi molto di base su convergenza puntuale, uniforme, in norma integrale e quadratica: f_n(x)= 1 x tra n e n+1, 0 altrimenti; f_n(x) = n x tra 0 e 1/(n al quadrato); f_n(x)= x^n x tra 0 e 1; f_n(x) = min{ 1/(radice di x) , n}. Vari implicazioni tra le diverse convergenze e controesempi. Applicazione della di seguaglianza di Cauchy-Schwartz per mostrare che f_n--> f in semi-norma integrale quadratica su un intervallo limitato allora f_n--> f in semi-norma integrale. (Vincenzo Maria Tortorelli) Mi raccomando che qualcheduno dei presenti si offra volontario per rivedere insieme a me i suoi appunti di stamattina e poterli fornire agli assenti. A domattina. VMT

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[Ingandu] (senza oggetto)
by Vincenzo Tortorelli 22 Oct '14

22 Oct '14

Salve tre cose: 1- siete pregati di parecipare alle lezioni, abbiamo superato un primo scoglio di vocabolario un po astratto, ma ora si stanno introducendo le basi del calcolo differenziale in piu' variabili, e anche durante le lezioni, come e' successo oggi, sara' necessario esaminare semplici esempi controesempi ed esercizi. 2- ancora di piu' consiglio fortemente di organizzarsi per venire a ricevimento (come gia' comunicato il mercoledi al polo alle 16,30 abbiamo un' auletta, e poi su appuntamento): da esperienza personale ho rilevato che c'e una forte correlazione diretta tra la percentuale degli studenti di una classe che `passano' l'esame in tempi ragionevoli e' quella degli studenti che `partecipano' al corso interagendo con i docenti durante i ricevimenti che dovrebbero essere unpo il cuore del corso perche' dovreste esser voi a porre domande e a parlare: noi lo facciamo durante l'anno a lezione e agli esami. 3- domani saremo di meno: non me la sento di andare avanti nel programma, mancando meta' degli studenti. Non me la sento nemmeno di saltare la lezione. Quindi saranno due ore in cui esamineremo esercizi su quanto visto finora, cercando di separar quelli di base (diciamo `facili') da quelli piu' impegnativi o astratti. Quindi quanto svolto oggi e' stato: 13. Mer 22/10/2014 14:30-16:30 (2:0 h) lezione: RICHIAMI: R1 correzione: la norma dell'estremo superiore si dice norma uniforme non Loo. R2 Le seminorme integrali DIM. sono norme sulle funzioni continue. R3 R4 DIM. distanze da un punto e prodotti scalari sono continui.PENDENZA LIMITATA: Lipschitzianita'. R5 DIM. nei prehilbert la norma e' il massimo di prodotti scalari sulla palla unitaria, DIM.diseguaglianza triangolare in norma per integrali di funzioni vettoriali di una variabile. GENERAZIONE DI FUNZIONI CONTINUE VETTORIALI DI PIU' VARIABILI: composizione, DIM. riduzione al caso scalare, DIM. lineari->lipschitziane: funzioni coordinate, DIM. bilineari: prodotti di coordinate. APPROSSIMAZIONE LOCALE DI FUNZIONI DI PIU' VARIABILI: dalla derivata alla definizione generale di differenziabilita'. Derivate parziali esempi, geometria e definizione. (Vincenzo Maria Tortorelli) A domattina. VMT

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[Ingandu] PROVA
by Vincenzo Tortorelli 21 Oct '14

21 Oct '14

Scusate e' solo un messaggio di prova. VMT

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[Ingandu] lezione di oggi ed esercizi
by Vincenzo Tortorelli 16 Oct '14

16 Oct '14

Salve: Gio 16/10/2014 08:30-10:30 (2:0 h) lezione: LINGUAGGIO COMUNE: DIMOSTRAZIONE diseguaglianze tra norme in Rd e convergenza per componenti.Punti interni, aperti, chiusi, densi: Dens. unif. dei polinomi in C[a,b] Berstein. Limitati, funzioni limitate DIM.chiuso sse chiuso per successioni. Limiti all'infinito in spazi normati. Successioni di Cauchy DIM. loro totale limitatezza. COMPLETEZZA DIM. in completo: compatto se e solo se chiuso e tot. lim.. DIM. Rd e' completo, DIM. le funzioni limitate a valori in un completo sono un completo con la distanza uniforme. ESERCIZI LASCIATI: 1) total. limitato e' limitato, 2) limite unif. di funz. cont. e limitate in un completo e' continuo. DIM. BOLZANO WEIERSTRASS chiuso e limitato in Rd e' compatto. DIM. WEIERSTRASS Una funzione in R continua su un compatto assume su esso valore massimo e minimo. Caratterizzazione sequenziale delle continue, caratterizzazione con preimmagini delle continue. Composizione di continue e' continua. Allego una lunga lista di esercizi, mi scuso se vi fossero refusi. Rapido riferimento al libro di Acquistapace per quanto oggi svolto: http://www.dm.unipi.it/~acquistp/inge.html Anticipo pero' che questa volta vi e' qualche differenza rispetto a quanto svolto a lezione. Aperti e chiusi euclidei, Teoremi di Bolzan-Weierstrass(differente argomento dala quello di stamani a lezione con la successione di cubi di volta in volta dimezzati) e Weiestrass euclidei: 1 vol. cap. 3.1 pagg. 168-175 con esercizi Funzioni continue caso euclideo: 1 vol. cap 3.3 pag. 190, esercizi 9, 10 pag. 193, cap. 3.4 pag.195 Compattezza ( vi e' un'altra definizione e si dimostra equivalente a quella vista a lezione): 2 vol. cap 1.6 teo. 1.6., Weiestrass e' nell'esercizo 5 pag.44, mentre gli esercizi 3 pag. 43 e 4 pag. 44 mostrano che Bolzano Weiestrass non e' vero indimensione infinita, gli esercizi 9/10 pag. 45 iniziamp a spiegare la totale limitatezza vista a lezione. Convergenza uniforme 2 vol. cap. 1.1-1.2 pagg.4-10 (esercizi pagg.12-14), pag.15 teorema 1.2.1 e' quanto vi avevo lasciato da fare come esercizio a lezione Completezza 2 vol. cap.1.7 pag.45, a pag. 46 proposizione 1.7.4 caratterizza i compattio con i totalmenti limitati e completi (il teorema 1.7.5 e' parte di quella vista a lezione della completezza per la norma uniforme delle funzioni limitate) , a pag. 49 il teorema di densita' uniforme dei polinomi nello spazio delle funzioni continue su un intervallo. Bene a domani VMT

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[Ingandu] ricevimento studenti
by Vincenzo Tortorelli 16 Oct '14

16 Oct '14

Salve orario ricevimento studenti: fra il 22 ott 2014 e il 17 dic 2014 *ogni mercoledì dalle 16:30 alle 18:30, aula B22; *Oppure su appuntamento. Vincenzo M. Tortorelli

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[Ingandu] resoconto e riferimenti bibliografici
by Vincenzo Tortorelli 15 Oct '14

15 Oct '14

Mer 15/10/2014 14:30-16:30 (2:0 h) lezione: LINGUAGGIO COMUNE A SPAZI EUCLIDEI E SPAZI DI FUNZIONI.1)diseg. Cauchy-Schwartz DIMOSTRAZIONE nel caso reale, distanze associate a prodotti scalari. Spazi di successioni: l1, l2, loo analogia norme viste in Rn. Norma Loo sulle funz. limitate, norma L1 sulle funz. assolutamente integr. in senso generalizzato, norma L2 sulle funz. con quadrato a.i.g.: interpretazione geometrica sui grafici. 2) Def. palle aperte, chiuse, sfere in spazi metrici, limite di curve e successioni a valori in uno spazio metrico. Punti di accumulazione e punti isolati. Definizione di limite per funz. tra spazi metrici: UNICITA' del limite, CRITERI di NON esistenza del limite. Punti di continuita' e restrizioni continue. 3)ES. LIMITI IN PIU' VARIABILI: A)uso del crit. di non esistenza per composizione con cammini (riduzione a limiti di una variabile), B) uso delle coordinate sferiche per C) ridursi con diseguaglianze a limiti di una variabile. (Vincenzo Maria Tortorelli) Riferimenti bibliografici P.Acquistapace http://www.dm.unipi.it/~acquistp/inge.html CauchySchwartz e diseguaglianza triangolare: 1 vol. cap.3.1 pag.166 2 vol. cap 1.2 pagg.24 Spazi prehilbertiani e normati: 2 vol. cap.1.2 esempi pagg.23-24 esercizi pag.25 , 2 vol. cap. 1.3 esempi pagg. 27-29 esercizio 1 pag. 31, esercizi 1, pag. 40 Palle: 1 vol. cap.3.1 pag.167, 2 vol. cap. 1.5 def. 1.5.3 pag. 34 Convergenza in spazi metrici: vol.2 cap.1.1 def.1.1.2 convergenza uniforme pagg. 4-6, vol. 2 cap 1.5 def. 1.5.6 pag. 35 Punti di accumulazione: 1 vol. cap.3.1 def. 3.1.11 pag.170 esercizi 10, 12, 13, 15 pagg.173-174, 2 vol. cap. 1.5 def. 1.5.7 pag.35 Continuita': 1 vol. cap.3.2 pag.178 esercizi 8, 9 , 10, 2 vol. cap. 1.5 def. 1.5.12 pag. 36 Limiti di funzioni in piu' variabili: 1 vol. cap.3.3 pagg. 183/187-189, esercizi 21, 22 pag.195 a domani

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[Ingandu] riferimenti libri/esercizi
by Vincenzo Tortorelli 10 Oct '14

10 Oct '14

Salve per la parte iniziata stamani senza dubbio e' utile e comodo consultare i libri disponibili in rete di Paolo Acquistapace: essi contengono molto di piu' di quanto visto. Pertanto vi indico le pagine per ora toccate: Volume A1 in Rn: paragrafo 1.11 pagg. 59-61, 68-70 (pagg 61-68 ripasso di geometria piana per chi ha ancora dei dubbi) (pagg 71 esercizi) paragrafo 3.1 pagg 164-167, paragrafo 3.2 pagg 174-177 Volume A2 in ambiente astratto e di funzioni: paragrafo 1.3 pagg 22-24, paragrafo 1.4 pagg 26-27 e pag 29, (esercizi pagg 31-33) paragrafo 1.5 pagg 32-34 Inoltre i due volumi presentano ponderose dimostrazioni: noi a lezione ne abbiamo fatte si e no due nei casi piu' semplici. Buon fine settimana VMT

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[Ingandu] (senza oggetto)
by Vincenzo Tortorelli 09 Oct '14

09 Oct '14

Salve 1) in http://unimap.unipi.it/registri/dettregistriNEW.php?re=152944::::&ri=8159 vi e' il registro delle lezioni ove e' scritto un resoconto dell'argomento affrontato in queste prime lezioni. 2) parte di quanto ho spiegato (solo alcune delle premesse e delle conclusioni viste oggi di quanto trattato) e' nel libro ADAMS-ESSEX: - capitolo 1 pagg. 27-58/66-86 (ripasso di prodotto scalare, vettoriale, determinante ed algebra lineare e forme parametriche) - capitolo 8 paragrafo 1, pagg.(435)437-443 (funzioni k-lineari alternanti e prodotto esterno), paragrafo 3 la definizione 10 di k-parallelogramma pag.454 e osservazione seguente ed esercizi 7,8,9,10 pag.456 che danno il caso particolare geometrico del teorema di Cauchy-Binet. Posso dire che in queste lezioni ho collegato, su basi intuitive, quanto c'e' nel capitolo 1 con l'inizio del capitolo 8 del libro citato. Inoltre il capitolo 2 e' dedicato alle curve nello spazio e puo' esse utile per un ripasso di cio' che avete visto a geometria e fisica. 3) l'errore nel calcolo dell'inversa della matrice dell'esercizio 5 era dovuto ad aver tralasciato il fattore ``(-1) elevato alla i+j'' nel calcolo del coefficiente di posto (i j) nella formula della matrice inversa. Ringrazio un vostro collega che ha individuato l'errore. VMT

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[Ingandu] p.s.
by Vincenzo Tortorelli 03 Oct '14

03 Oct '14

Nel sito del corso c'e una versione delle soluzioni agli esercizi della prima parte dove si sono corrette alcune sgrammaticature ed errori di stampa. Chiedo scusa per aver spedito quella con queste imperfezioni (che non non ci sembra riguardino la risoluzione e i risultati). VMT

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[Ingandu] (senza oggetto)
by Vincenzo Tortorelli 03 Oct '14

03 Oct '14

Salve 1) chiedo a chi si e' iscritto alla mailing list, e non l'avesse fatto di mettere cognome nome, nell'ordine, prima del numero di matricola. 2) chiedo inoltre la cortesia di sollecitare i vostri colleghi perche' si iscrivano (per ora vi siete iscritti in 30, ma siete circa 120). 3) Infatti gia' allego due file formato pdf con le soluzioni agli `esercizi di accoglenza' e COMMENTI GENERALI AI VOSTRI ELABORATI, e quelle agli esercizi della seconda parte del test che vi ho distribuito a lezione ieri. (NOTA: nella prima pagina ci sono le risposte secche, in seguito le soluzioni suggerite, e per il primo file alla fine le note di commento). 4) Ecco il link alla scheda del corso con il PROGRAMMA tentativo di massima, le modalita' di ESAME e una BIBLIOGRAFIA minim (a questo porposito che molti altri testi vanno benissimo) http://www.dm.unipi.it/~acquistp/Scheda_corso.pdf 5) Per gli esercizi, essendo il primo anno che ci si dedica ad un corso di analisi 2 per ingeneria civile ed edile, non sono pronte noste liste di esercizi da esame (non penso sia il caso di fornire liste di esercizi per matematici e fisici o per economisti e biologi). Gli eserciziari sono comunque infiniti anch'essi di facile reperibilita'. 6) Ecco il link al registro delle lezioni ove tengo uno stringato RESOCONTO dell'attivita' in classe: http://unimap.unipi.it/registri/dettregistriNEW.php?re=152944::::&ri=5114 Buon fine settimana V.M.Tortorelli

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[Ingandu] (senza oggetto)
by Vincenzo Tortorelli 01 Oct '14

01 Oct '14

Un benvenuto ai primi studenti iscritti alla mailing list. Appena si saranno iscritti in numero congruo anche altri studenti usero' la lista per mandare le soluzioni degli esercizi fatti stamani e i commenti sui vostri elaborati. Buona notte. Vincenzo M. Tortorelli

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