November 2014 - ingandu@lists.dm.unipi.it - Mailing list

[Ingandu] oggi e appunatmenti
by Vincenzo Tortorelli 29 Nov '14

29 Nov '14

1) oggi Ven 28/11/2014 11:30-12:30 (1:0 h) esercitazione: In compresenza con la dottoressa Laura Cremaschi: laplaciano in coordinate polari; significato delle derivate rispetto ad altre due variabili curvilinee: derivata direzionale rispetto al tangente della curva ove l'altra nuova variabile e' costante. Uso del teorema di Weiestrass: verifiche di continuita' e compattezza. Massimi e minimi di x + x^2y/(x^2+4y^2) nel primo e terzo quadrante. Proposto: massimi e minimimi di x^2+y^2 -(x+y) per |x| e |y| minori eguali ad 1. (Vincenzo Maria Tortorelli) Potete iniziare a fare esercizi a riguardo sul libro di Acquistapace 1 Vol. cap. 4.11 pag. 285 osservazione 4.11.4 esempio 4.11.5, esercizi pagg.286-287 Per esercizi sul polinomio di Taylor oltre a quanto visto a lezione ripeto il riferimento specifico: 1 Vol. cap.4.8 pagg.2676-268, e sulle note di Massimo Gobbino in rete 2) Vi prego di iscrivervi (se intendete affronatrla) alla verifica in itinere non fiscale di lunedi 15 dicembre tramite https://esami.unipi.it/esami/ ho pubblicato il calendario sul sito di ateneo tramite il backoffice del sito esami. Le iscrizioni partano da oggi alle 16,30 fino a domenica 14 dicembre 19,30. 3) Ho fato richiesta per avere nella seconda meta' di febbraio una prova in itinere fiscale. Siamo in attesa che venga concessa e indichino la data e l'aula. VMT

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[Ingandu] RECUPERO
by Vincenzo Tortorelli 28 Nov '14

28 Nov '14

Martedi 9 dicembre dalle 13.30 alle 15.30 in aula PN10 recupereremo le due ore usate per la visita SAIE. Ringraziamo il professor Fiamma. VMT

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[Ingandu] COMPITINO DI PROVA
by Vincenzo Tortorelli 28 Nov '14

28 Nov '14

Confermo: lunedi 15 dicembre ore dalle ore 15.30/16 alle ore 18.30 in aula A26 effettueremo una simulazione di prova in itinere 1-Non avra' valore fiscale. 2-La corregeremo. 3-Vi sara' una prima parte con quesiti a cui dovrete dare SOLO la risposta: durata circa un'ore. 4-Formalmente per avere l'ammissione alla seconda parte dovrete rispondere a circa il 60% delle domande in maniera corretta. 5- Finito il tempo a disposizione chi ritiene di consegnare consegna ATTENZIONE in sede di esame questo vorrebbe dire che avete parteciapto all'appello. Ritengo che non possiate partecipare a piu' di quattro appelli sui sette a disposizione (studenti lavoratori ed eccezioni a parte). 6- A questo punto daremo le soluzioni dei quesiti della prima parte. 7- Quindi si consegnera' il testo della seconda parte che richiedera' circa due ore.

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[Ingandu] oggi
by Vincenzo Tortorelli 28 Nov '14

28 Nov '14

Vi allego una pagina di appunti sulle relazioni tra le notazioni con le derivate direzionali e le notazioni con i multi-indici. Gio 27/11/2014 08:30-10:30 (2:0 h) lezione: Polinomi di Taylor in piu' variabili. Parte teorica: notazione con multindici e notazione con derivate direzionali o derivazioni. Relazione tra le notazioni. Relazione con l'Hessiano. Uso della parte teorica: approssimazione di funzioni definite implicitamente (soluzioni di equazioni differenziali, funzioni implicite etc. etc. ).Parte pratica/teorica: unicita'. Dimostrazione per i polinomi di secondo grado e terzo grado in due variabili. Esercizi: ridursi a polinomi di Taylor noti in una variabile con sostituzione ed unicita'. Polinomio di taylor centrato in (0,0) di grado 7 di sin xy; polinomio di Tyalor di grado 4 in (0, 1) per y exp xy. Calcolo delle derivate parziali in un punto con polinomi di Taylor noti. (Vincenzo Maria Tortorelli) Oltre agli appunti: Libro Acquistapace 1 Vol. cap. 4.8 pagg. 263-268 (compresi esercizi) VMT

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[Ingandu] prova in itinere
by Vincenzo Tortorelli 26 Nov '14

26 Nov '14

Salve 1) per lunedi 15 dicembre si potrebbe fissare una verifica in itinere di prova come da voi richiesto. Dalla segreteria mi comunicano che dalle 16 dovreste essere liberi da lezioni ed esercitazioni. Desidero urgentemente tra domani e dopodomani conferma da parte vostra. In caso la segreteria si fosse sbagliata l'altra disponibilita e' sempre lunedi 15 dicembre dalle 8.30 alle 10.30. L'aula (da confermare) dovrebbe essere la A26. 2) Per la verifica in itinere con valore `fiscale' come da voi richiesto stiamo cercando di organizzarla verso febbraio. Anche per questo punto con una certa urgenza sarebbe necessaria una conferma da parte vostra perche' non ci siano sovrapposizioni con altre prove di esame del secondo anno dei vostri corsi di laurea. 3) Spero nella prima decade di dicembre di recuperare le due ore devolute alla vista SAIE. V.M.T.

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[Ingandu] stamani
by Vincenzo Tortorelli 22 Nov '14

22 Nov '14

Ven 21/11/2014 11:30-12:30 (1:0 h) esercitazione: Parametrizzazione locale del nastro di Moebius. Parametrizzazione sfasata. Mappa di transizione e suo determinante Jacobiano.

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[Ingandu] argomenti stamani
by Vincenzo Tortorelli 21 Nov '14

21 Nov '14

Gio 20/11/2014 08:30-10:30 (2:0 h) lezione: Cambi parametriz.(carte) locali, mappa transizione P, dP come camb. di coor. lineare sul tangente. 2-varieta' in R3: relazione tra i prodotti vettoriali delle basi indotte da due parametr.. Nastro di Moebius. Orientabilita' d-var. in Rm: v'e' Atlante con det. Jac. delle mappe di tran. positivi. Teo.1 2-varieta' S in R3 e' orien. sse. v'e' un N da S nella sfera continuo. Teo.2 Frontiera di aperto regolare e' orien. Criterio 1:luogo di zeri glob.ipotesi Dini: orien.Normale indotta dalla para. globale ``infedele ''di una 2-superficie continua nei parametri ma non sul sostengo. Crit.2 2-varieta' in R3 con Atlante a due carte e intersezione delle immagini connessa e' orien. Orien. indotta sul bordo: param. loc. di rango mass. iniettive fino a un pezzo della frontiera della carta, basi del tangente:derivate direzionali, der. dir. nel tangente `esterne', vettore tangente normale esterno.Teo.3 2-varieta' senza bordo in R3 e' orient. Inizio parametrizz. Moebius. Oltre a dare i riferimenti del libro di Paolo allego una breve nota su quanto illustrato stamattina a lezione che un po si discosta dalla trattazione del libro. orientazione superficie 2 Vol. pagg. 458-460 e' il minimo ma ci sono due begli esempi orientazione di una varieta' 2 Vol. pagg. 546-553 e' il massimo ma il linguaggio e i concetti ustai sono al di fuori della portata del corso. a lezione ho cercato di mediare.

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[Ingandu] argomenti e riferimenti
by Vincenzo Tortorelli 20 Nov '14

20 Nov '14

Mer 19/11/2014 14:30-16:30 (2:0 h) lezione: Connessi per archi. Immagini continue di connessi per archi. Esercizio: connettere (2/3,2/3) con (-radquad 3/4, -1/4) in x^2+y^2minore o uguale 1 e (x-1/2)^2+y^2 maggiore 1/4. Definizione d-varieta' in Rm di classe Ck come luogo di zeri locale di funzioni con differenziale di rango massimo. Definizione equivalente: localmente immagine di funzioni bigettive con differenziale di rango massimo. Parametrizzazioni locali, carte locali, coordinate locali. Atlanti. Esempio sfera con (radquad(1-u^2-v^2), u, v) con u^2+v^2<1. Spazi tangenti e normali. Definizione di d-superficie regolare con parametrizzazione globale (``infedele''). Esempio: le curve regolari non e' detto siano 1-varieta' regolari (cos t, cos t sin t) con 0< t< 3/2 pi. d-varieta' con bordo, esempio: semisfera con diametro massimo. Inizio esposizione del concetto di orientabilita' di una 2-varieta' in R3. Riferimenti al libro di Acquistapace ripasso curve: 2 Vol. pagg. 372-420. supeficie parametriche globali: 2 Vol. pagg. 451-455. d-varieta' con e senza bordo: 2 Vol. il caso dei bordi regolari di aperti pagg. 436-441, definizione generale pagg. 508-513. Extra per chi e' interessato: alle pagg. 485-508 del Vol.2 e' meticolosamente esposta la teoria locale delle superficie nello spazio sino ad arrivare alla dimsotrazione di teorema Egregium di Gauss e alle formule per le curvature sezionali. Risultati che sono usati a Topografia ma ... nel nostro corso ... come scherza il poeta ... `hassi a rifar ma il tempo manca'. VMT

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[Ingandu] (senza oggetto)
by Vincenzo Tortorelli 15 Nov '14

15 Nov '14

Oltre ad un cennio a quanto svolto stamani allego un quarto fogli di esercizi sugli argomenti che verranno svolti dalla prossima settimana. Ven 14/11/2014 11:30-12:30 (1:0 h) lezione: Teo. di invertib. loc., formule derivate dell'inversa. Interpretazione:f(x) =(f1(x1,..,xd), f2(x1...xd), ... fd(x1 ...xd)) funzione C1 da Rd in Rd, il sistema f(x)=c ha p soluzione f(p)= c per cui il sistema lineare df(p) x= 0 ha un'unica soluzione allora per z ``vicino a c'', il sistema f(x)=z ha ``vicino a p'' un'unica soluzione x(z) regolare quanto f. Domanda: l'immagine di una funzione ``vicino a un suo valore '' e' un grafico? (cos (t^3+1), sin (t^3+1)), (x,y,x^2+y^2), (t^2,t^3). Teo.rango: d minore m,f da Rd a Rm, df(p) di rango massimo: esiste B intorno di p f(B) e' un grafico e il tangente a f(B) in f(p) e' il traslato in f(p) dell'immagine di df(p), base e' data della derivate parziali in p di f. f(t)= (t^2, t^3)= (g(t), k(t)) qui d=1, m =2 mostra la linea dimostrativa: nuova variabile u=k(t) invertibile:un punto dell'immagine e' del tipo (g(k^{-1}(u), u). Grafico di curva che all'infinito torna su di se. Riferimento al libro di Acquistapace: 1 vol. cap 1.9: enunciato teorema di invertibilita' locale ed esempi pagg.88-89-90-91-92-93, osservazione 1.9.2.11 pag. 92-93; enunciato teorema del rango pag. 93-94 (l'inizio della dimostrazione chiarisce l'interpretazione dell'enunciato, l'esempio dato a lezione f(t)=(t^2, t^3) l'ultimo ``gruppo di variabili t^3'' e' una funzione invertibile t^3=u ); esempi pag.95-96. Esercizi pagg. 96-97-98-99.

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[Ingandu] ARGOMENTI DI OGGI
by Vincenzo Tortorelli 13 Nov '14

13 Nov '14

Gio 13/11/2014 08:30-09:30 (1:0 h) lezione: Teorema del Dini 1.3 vettoriale rispetto a un qualsiasi gruppo di variabili, notazione x-sigma e x-tau, formula derivate funzioni implicite. Modo d'intendere l'enunciato: l'insieme Z delle soluzioni di un sistema f(x)=c non lineare, d-incognite x1...xd, m equazioni f1=c1, ...fm=cm, m minore d, vicino a un punto p per cui f(p)=c, rango df(p) e' massimo =m, ha d-m gradi di liberta' anzi e' grafico di una funzione di d-m variabili a valori in Rd e quindi si calcolano le derivate delle m variabili dipendenti rispetto alle d-m indipendenti. Quindi il piano tangente in p a Z e' dato dalle soluzioni del sistema lineare non omogeneo df(p)x= df(p)p con m equazioni e d incognite. Derivate successive delle funzioni implicite. Esercizio trovare il piano tangente in (0,1,1) all'insieme delle soluzioni del sistema xyz=0, x^2+y^2+z^2 =2, trovare le derivate prime e le derivate seconde delle variabili dipendenti nel punto. (Vincenzo Maria Tortorelli) Gio 13/11/2014 09:30-10:30 (1:0 h) esercitazione: In compresenza con la dottoressa Laura Cremaschi: studio dei valori di massimo e minimo della funzione x/(1 + x^2+y^2) con il calcolo differenziale. Esercizio lasciato: studiare lo stesso problema con il massimo dei massimi delle restrizioni e il minimo dei minimi delle restrizioni a rette parallele agli assi. Studiare i punti e i valori di massimo e minimo assoluto della funzione x^4+y^4+z^4 -(x-y-z)^2 +1. Condizioni sufficienti sul segno stretto degli autovalori della matrice Hessiana simmetrica calcolata in un punto stazionario, per la natura del punto stazionario. Criterio della variazione del segno dei minori per avere il segno degli autovalori di una matrice simmetrica. (Vincenzo Maria Tortorelli)

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[Ingandu] argomenti di oggi
by Vincenzo Tortorelli 13 Nov '14

13 Nov '14

Mer 12/11/2014 14:30-16:30 (2:0 h) lezione: Teorema dal Dini in due variabile per funzioni a valori reali enunciato: DIM. formula per la derivata della funzione impilicita e per il piano tangente; esempio equazione retta tangente in (2,1) a f(x,y)= x^y+y^x -3=0. Teorema del Dini in piu' di due variabili per funzioni reali, enunciato rispetto ad una qualsiasi variabile e fromule relative: esempio iperpiano tangente 5-dim in (0,0,0,0,0,0) a f(a,b,c,d,e,f)=0 per f= b exp(a+e) +a^2 + ae +df^3 +log (1 +b^2 +f^4). Regola di Cramer per matrici. Notazione alla Leibniz per i minori dello Jacobiano come differenziali di restrizioni. Teorema del Dini in piu' variabili per funzioni vettoriali da Rd in Rm, m minore d: formula del piano tangente e delle derivate delle ultime m variabili rispetto alle prime d-m variabili quando il minore dello Jacobiano rispetto alle ultime m e' invertibile. (Vincenzo Maria Tortorelli) Per quanto riguarda i teoremi del Dini, come riferimento al libro di Acquistapace, ripeto quanto gia' indicato la scorsa settimana. Mi riferisco quindi al testo specificando le pagine da prendere in esame: 2 Vol. cap. 1.9 enunciato teorema del Dini reale ed osservazioni pagg.72-73-74, esempio 1.9.4 pagg. 77-78; enunciato teorema del Dini vettoriale pag.84-85 osservazione 1.9.7 pag. 87-88, enunciato teorema di invertibilita' locale ed esempi pagg.88-89-90-91-92, osservazione 1.9.2.11 pag. 92-93; Esercizi pagg. 96-97-98-99. VMT _______________________________________________ Ingandu mailing list Ingandu(a)mail.dm.unipi.it https://mail.dm.unipi.it/listinfo/ingandu

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[Ingandu] esercitazione di venerdi
by Vincenzo Tortorelli 11 Nov '14

11 Nov '14

Ven 07/11/2014 11:30-12:30 (1:0 h) esercitazione: In compresenza con la dottoressa Laura Cremaschi: prodotto scalare tra matrici quadrate come elementi di Rnxn, il differenziale ed il gradiente del determinante mediante derivate direzionali e mediante la regola per derivare ``prodotti'' -cioe' funzioni multilineari quale e' il determinante-, matrice dei cofattori; definizione di frontiera di un sottoinsieme di uno spazio metrico; procedura per affrontare lo studio dei punti di massimo e minimo di una funzioni di piu' variabili: punti ove non e' differenziabile, punti ove il differenziale e' nullo, comportamento sulla frontiera e ``all'infinito''; studio di massimi e minimi di una funzione di due variabili mediante l'analisi delle linee di livello, limiti all'infinito, metodo di quadratura per riconoscere coniche e altre accortezze elementari. (Vincenzo Maria Tortorelli)

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[Ingandu] argomenti di oggi
by Vincenzo Tortorelli 07 Nov '14

07 Nov '14

Gio 06/11/2014 08:30-09:30 (1:0 h) lezione: Derivate di funzioni lineari per componenti. Derivate e differenziali di ``prodotti'' composizione con funzioni multilineari: DIM. dB(f(x),g(x))[h,k] =B(df(x)[h], g(x)) +B(f(x), dg(x)[k]). Derivata del determinante di una matrice di funzioni di una variabile, derivate di prodotti vettoriali. Esercizio lasciato: trovare il differenziale del determinante usando la definizione di derivata direzionale. Enunciato teorema di Schwarz sul cambio di ordine di derivazione in ipotesi di continuita' e controesempio. Definizone di chiusura di un insieme. Spazi vettoriali Ck, Dk, Ck forte della chiusura. Funzioni positivamente omogenee di grado a, insiemi stellati rispetto a un punto e coni: DIM. teorema di Eulero e derivata radiale (componente radiale del gradiente). Derivate radiali e tangenziali:gradiente in altra base ortonomale (variabile da punto a punto) con derivate direzionali. Ese. sin (x^2+y^2+z^2) derivata radiale e ortogonalita'ai livelli. (Vincenzo Maria Tortorelli) Gio 06/11/2014 09:30-10:30 (1:0 h) lezione: Dalla lezione del 31-10: SLOGANs: 2) tangente a immagine e' immagine del diff. 3) tangente a luogo di zeri e' nucleo del diff.DOMANDE A)l'immagine di g:Rd->Rm vicino a p e' grafico di f:Rd->R(m-d), e' vero 2)? B)il luogo di zeri di F:Rd->Rm vicino a p e' grafico di f:R(d-m)->Rm, vero 3)? SCHEMA TEO.1.1-2-3(Dini m< d f:Rd->Rm) se f C1 e grad f ha rango massimo: B) vero. TEO.2(Rango m>d f:Rd->Rm)se f C1 e diff f ha rango massimo: A) vero, base tangente=derivate parziali. TEO.3(Invertibilita' locale f:Rd->Rd) f C1 diff f rango max in p: una restrizone di f ad un intorno di p e' iniettiva con f(p) interno alla sua immagine. (Vincenzo Maria Tortorelli) Riferimenti libro Acquistapace: Per la definizione di chiusura 2 vol. def.1.5.10 pag. 36. Per la componente radiale del gradiente si esaminino 1 vol. cap 4.5 esempi 4.5.3 pagg. 243-244. Teorema di Eulero sulle funzioni omogenee: 1 vol. cap. 4.5 esercizio 3 pag. 239. Per il teorema di Schwarz e gli spazi di funzioni: 1 vol. cap 4.6 pagg.245-246, e l'esercizio 5 pag.248 Per il differenziale di una forma quadratica in componenti pag.278 (a lezione si e' visto di piu'). Per quanto riguarda i teoremi del Dini del rango e di invertibilita' locale di cui abbiamo introdotto il significato degli enunciati conviene anticipare lo studio di tali enunciati prima dell'esposizione a lezione. Mi riferisco quindi al testo specificando le pagine da prendere in esame: 2 Vol. cap. 1.9 enunciato teorema del Dini reale ed osservazioni pagg.72-73-74, esempio 1.9.4 pagg. 77-78; enunciato teorema del Dini vettoriale pag.84-85 osservazione 1.9.7 pag. 87-88; enunciato teorema di invertibilita' locale ed esempi pagg.88-89-90-91-92, osservazione 1.9.2.11 pag. 92-93; enunciato teorema del rango pag. 93-94 (l'inizio della dimostrazione chiarisce l'interpretazione dell'enunciato) osservazione 1.9.13 pag.95 ATTENZIONE VA CORRETTA c'e' un refuso: con `localmente' si intende localmente nel dominio non nel codominio; esempi pag.95-96. Esercizi pagg. 96-97-98-99. VMT

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[Ingandu] argomenti di oggi
by Vincenzo Tortorelli 06 Nov '14

06 Nov '14

Mer 05/11/2014 14:30-15:30 (1:0 h) lezione: Derivate parziali successive, derivate direzionali successive, matrice H(Hessiana) delle derivate seconde. DIM: se la funzione e' differenziabile e lo sono anche le sue derivate parziali prime allora la derivata direzionale seconda nelle direzioni w e v e' data da vHw. Esercizio lasciato: esprimere (f(c(t))'' in termini delle derivate di f e di c''(t). Regola di Leibniz della catena nel caso generale: analogia con la derivata di funzione composta: composizione dei differenziali (prodotto righe per colonne delle matrici Jacobiane) DIM. usando il lemma degli ``o''. DIM. Regola di Leibniz per le derivate parziali. DIM. Differenziale dell'inversa. Cambiamenti di coordinate: per punti, per vettori e per covettori. Generazione di funzioni differenziabili: composizione, spazio vettoriale, il differenziale delle lineari e' costante, dxi come differenziale della proiezione i-esima, differenziale dei prodotti di coordinate. Il differenziale della norma e della norma al quadrato. (Vincenzo Maria Tortorelli) Mer 05/11/2014 15:30-16:30 (1:0 h) esercitazione: Esercizi di calcolo di derivate parziali successive. Accortezza empirica: se vi sono variabili rispetto a cui non si deriva, preliminarmente a queste si sostituiscono i valori delle coordinate del punto ove si vogliono calcolar le derivate e quindi si deriva. Quando ``non ci si accorge di usare'' la regola della catena: calcolo diretto delle derivate delle funzione sin (xy) rispetto alle variabili polari. Verifica che usando la regola viene lo stesso. Quando la complessita' della regiola della catena viene fuori comunque: (impostazione dell'esercizio 11 del terzo foglio) se G(r, a)= F(x,y), (x,y)=(r cos a, r sin a), esprimere la derivate di F rispetto a x con r, a, e le derivate rispetto a queste variabili. (Vincenzo Maria Tortorelli) Riferimento ai libri di Acquistapace: Regola della catena: 1 Vol. cap 4.5 pagg.241-244. Derivate successive: 1 Vol. cap. 4.6 pagg.244-246, esercizi pag.248.

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