ingandu November 2014

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[Ingandu] argomenti di oggi
by Vincenzo Tortorelli 12 Nov '14

12 Nov '14

Mer 12/11/2014 14:30-16:30 (2:0 h) lezione: Teorema dal Dini in due variabile per funzioni a valori reali enunciato: DIM. formula per la derivata della funzione impilicita e per il piano tangente; esempio equazione retta tangente in (2,1) a f(x,y)= x^y+y^x -3=0. Teorema del Dini in piu' di due variabili per funzioni reali, enunciato rispetto ad una qualsiasi variabile e fromule relative: esempio iperpiano tangente 5-dim in (0,0,0,0,0,0) a f(a,b,c,d,e,f)=0 per f= b exp(a+e) +a^2 + ae +df^3 +log (1 +b^2 +f^4). Regola di Cramer per matrici. Notazione alla Leibniz per i minori dello Jacobiano come differenziali di restrizioni. Teorema del Dini in piu' variabili per funzioni vettoriali da Rd in Rm, m minore d: formula del piano tangente e delle derivate delle ultime m variabili rispetto alle prime d-m variabili quando il minore dello Jacobiano rispetto alle ultime m e' invertibile. (Vincenzo Maria Tortorelli) Per quanto riguarda i teoremi del Dini, come riferimento al libro di Acquistapace, ripeto quanto gia' indicato la scorsa settimana. Mi riferisco quindi al testo specificando le pagine da prendere in esame: 2 Vol. cap. 1.9 enunciato teorema del Dini reale ed osservazioni pagg.72-73-74, esempio 1.9.4 pagg. 77-78; enunciato teorema del Dini vettoriale pag.84-85 osservazione 1.9.7 pag. 87-88, enunciato teorema di invertibilita' locale ed esempi pagg.88-89-90-91-92, osservazione 1.9.2.11 pag. 92-93; Esercizi pagg. 96-97-98-99. VMT _______________________________________________ Ingandu mailing list Ingandu(a)mail.dm.unipi.it https://mail.dm.unipi.it/listinfo/ingandu

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[Ingandu] esercitazione di venerdi
by Vincenzo Tortorelli 11 Nov '14

11 Nov '14

Ven 07/11/2014 11:30-12:30 (1:0 h) esercitazione: In compresenza con la dottoressa Laura Cremaschi: prodotto scalare tra matrici quadrate come elementi di Rnxn, il differenziale ed il gradiente del determinante mediante derivate direzionali e mediante la regola per derivare ``prodotti'' -cioe' funzioni multilineari quale e' il determinante-, matrice dei cofattori; definizione di frontiera di un sottoinsieme di uno spazio metrico; procedura per affrontare lo studio dei punti di massimo e minimo di una funzioni di piu' variabili: punti ove non e' differenziabile, punti ove il differenziale e' nullo, comportamento sulla frontiera e ``all'infinito''; studio di massimi e minimi di una funzione di due variabili mediante l'analisi delle linee di livello, limiti all'infinito, metodo di quadratura per riconoscere coniche e altre accortezze elementari. (Vincenzo Maria Tortorelli)

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[Ingandu] argomenti di oggi
by Vincenzo Tortorelli 06 Nov '14

06 Nov '14

Gio 06/11/2014 08:30-09:30 (1:0 h) lezione: Derivate di funzioni lineari per componenti. Derivate e differenziali di ``prodotti'' composizione con funzioni multilineari: DIM. dB(f(x),g(x))[h,k] =B(df(x)[h], g(x)) +B(f(x), dg(x)[k]). Derivata del determinante di una matrice di funzioni di una variabile, derivate di prodotti vettoriali. Esercizio lasciato: trovare il differenziale del determinante usando la definizione di derivata direzionale. Enunciato teorema di Schwarz sul cambio di ordine di derivazione in ipotesi di continuita' e controesempio. Definizone di chiusura di un insieme. Spazi vettoriali Ck, Dk, Ck forte della chiusura. Funzioni positivamente omogenee di grado a, insiemi stellati rispetto a un punto e coni: DIM. teorema di Eulero e derivata radiale (componente radiale del gradiente). Derivate radiali e tangenziali:gradiente in altra base ortonomale (variabile da punto a punto) con derivate direzionali. Ese. sin (x^2+y^2+z^2) derivata radiale e ortogonalita'ai livelli. (Vincenzo Maria Tortorelli) Gio 06/11/2014 09:30-10:30 (1:0 h) lezione: Dalla lezione del 31-10: SLOGANs: 2) tangente a immagine e' immagine del diff. 3) tangente a luogo di zeri e' nucleo del diff.DOMANDE A)l'immagine di g:Rd->Rm vicino a p e' grafico di f:Rd->R(m-d), e' vero 2)? B)il luogo di zeri di F:Rd->Rm vicino a p e' grafico di f:R(d-m)->Rm, vero 3)? SCHEMA TEO.1.1-2-3(Dini m< d f:Rd->Rm) se f C1 e grad f ha rango massimo: B) vero. TEO.2(Rango m>d f:Rd->Rm)se f C1 e diff f ha rango massimo: A) vero, base tangente=derivate parziali. TEO.3(Invertibilita' locale f:Rd->Rd) f C1 diff f rango max in p: una restrizone di f ad un intorno di p e' iniettiva con f(p) interno alla sua immagine. (Vincenzo Maria Tortorelli) Riferimenti libro Acquistapace: Per la definizione di chiusura 2 vol. def.1.5.10 pag. 36. Per la componente radiale del gradiente si esaminino 1 vol. cap 4.5 esempi 4.5.3 pagg. 243-244. Teorema di Eulero sulle funzioni omogenee: 1 vol. cap. 4.5 esercizio 3 pag. 239. Per il teorema di Schwarz e gli spazi di funzioni: 1 vol. cap 4.6 pagg.245-246, e l'esercizio 5 pag.248 Per il differenziale di una forma quadratica in componenti pag.278 (a lezione si e' visto di piu'). Per quanto riguarda i teoremi del Dini del rango e di invertibilita' locale di cui abbiamo introdotto il significato degli enunciati conviene anticipare lo studio di tali enunciati prima dell'esposizione a lezione. Mi riferisco quindi al testo specificando le pagine da prendere in esame: 2 Vol. cap. 1.9 enunciato teorema del Dini reale ed osservazioni pagg.72-73-74, esempio 1.9.4 pagg. 77-78; enunciato teorema del Dini vettoriale pag.84-85 osservazione 1.9.7 pag. 87-88; enunciato teorema di invertibilita' locale ed esempi pagg.88-89-90-91-92, osservazione 1.9.2.11 pag. 92-93; enunciato teorema del rango pag. 93-94 (l'inizio della dimostrazione chiarisce l'interpretazione dell'enunciato) osservazione 1.9.13 pag.95 ATTENZIONE VA CORRETTA c'e' un refuso: con `localmente' si intende localmente nel dominio non nel codominio; esempi pag.95-96. Esercizi pagg. 96-97-98-99. VMT

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[Ingandu] argomenti di oggi
by Vincenzo Tortorelli 05 Nov '14

05 Nov '14

Mer 05/11/2014 14:30-15:30 (1:0 h) lezione: Derivate parziali successive, derivate direzionali successive, matrice H(Hessiana) delle derivate seconde. DIM: se la funzione e' differenziabile e lo sono anche le sue derivate parziali prime allora la derivata direzionale seconda nelle direzioni w e v e' data da vHw. Esercizio lasciato: esprimere (f(c(t))'' in termini delle derivate di f e di c''(t). Regola di Leibniz della catena nel caso generale: analogia con la derivata di funzione composta: composizione dei differenziali (prodotto righe per colonne delle matrici Jacobiane) DIM. usando il lemma degli ``o''. DIM. Regola di Leibniz per le derivate parziali. DIM. Differenziale dell'inversa. Cambiamenti di coordinate: per punti, per vettori e per covettori. Generazione di funzioni differenziabili: composizione, spazio vettoriale, il differenziale delle lineari e' costante, dxi come differenziale della proiezione i-esima, differenziale dei prodotti di coordinate. Il differenziale della norma e della norma al quadrato. (Vincenzo Maria Tortorelli) Mer 05/11/2014 15:30-16:30 (1:0 h) esercitazione: Esercizi di calcolo di derivate parziali successive. Accortezza empirica: se vi sono variabili rispetto a cui non si deriva, preliminarmente a queste si sostituiscono i valori delle coordinate del punto ove si vogliono calcolar le derivate e quindi si deriva. Quando ``non ci si accorge di usare'' la regola della catena: calcolo diretto delle derivate delle funzione sin (xy) rispetto alle variabili polari. Verifica che usando la regola viene lo stesso. Quando la complessita' della regiola della catena viene fuori comunque: (impostazione dell'esercizio 11 del terzo foglio) se G(r, a)= F(x,y), (x,y)=(r cos a, r sin a), esprimere la derivate di F rispetto a x con r, a, e le derivate rispetto a queste variabili. (Vincenzo Maria Tortorelli) Riferimento ai libri di Acquistapace: Regola della catena: 1 Vol. cap 4.5 pagg.241-244. Derivate successive: 1 Vol. cap. 4.6 pagg.244-246, esercizi pag.248.

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