ingandu December 2014

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[Ingandu] stamani
by Vincenzo Tortorelli 19 Dec '14

19 Dec '14

Oggio si sono illustrate le principali proprieta' delle funzioni convesse. Sottolineo che a fini pratici oltre alla caratterizzazione mediante i gradienti e la matrice Hessian e' bene tener presente che per tali funzioni: 1- i punti di minimo relativo son punti di minimo assoluto 2- se non costanti tali funzioni se assumono valore massimo lo assumomo solo sulla frontiera (relativa) del loro dominio convesso. Accludo appunti che integrano l'abbondante materiale del libro. Gio 18/12/2104 11:30-12:30 (1:0 h) lezione: Insiemi convessi: parte interna e frontiera relativa; convessi della retta; intersezione di convessi. ENUNCIATO ogni convesso relativ. chiuso e' intersezione dei semispazi chiusi che lo contengono. FUNZIONI CONVESSE; richiami in una variabile. R1 conv. se e solo se i rapporti incrementali sono crescenti R2 conv.sse. le derivate destre e sinistre sono crescenti R3 conv. sse. grafico sopra rette tangenti R3 conv.sse. derivata seconda non negative. Piu' variabili Prop1 conv sse. le composizioni con parametrizzazioni affini di (restrizioni a)rette son convesse Prop2 conv. sse. epigrafico convesso. DIM. Geometrica TEO1 i punti di min. locale di una conv. sono di min. assoluto DIM.geo.TEO2 f conv. non costante se ha massimo lo ha solo sul bordo rel. ENUNC. TEO3 f conv. su C conv. e' continua nell'interno relativo TEO4 f conv. sse. grad f monotono TEO5 f diff.: f conv. sse. grafico sopra piani tangenti DIM.:TEO 6 f C2: f conv. sse. Hessiano non negativo. (Vincenzo Maria Tortorelli) Riferimenti al libro di P.Acquistapace 1 Vol. cap. 4.12 pagg. 287-293 con esercizi BUON NATALE VMT

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[Ingandu] today
by Vincenzo Tortorelli 18 Dec '14

18 Dec '14

Gio 18/12/2014 08:30-09:30 (1:0 h) lezione: Richiami sulle serie di potenze, limite inferiore e limite superiore. Convergenza uniforme su un intervallo limitato implica convergenza L1 (ripetizione). Differenziabilita del limite di una successione di funzioni C1 con derivate parziali uniformemente convergenti su palle chiuse. DIMOSTRAZIONE in dimensione uno. DIM.Derivate di serie di potenze. Uniforme continuita' in astratto: se G e' u.c. e Fn(x) conv. unif. allora G(Fn(x)) conv. unif. Enunciato caratterizzazione sequenziale dell'iniforme continuita'. Definizione di insieme convesso.C1 su un convesso con gradiente limitato e' lipschitziana quindi u.c.. (Vincenzo Maria Tortorelli) Gio 18/12/2014 09:30-10:30 (1:0 h) esercitazione: Convergenza della serie (somma n(sin x)^n) e (somma n y^n). Convergenza uniforme di f_n(x) =2^nx/(1+ 2^n x^2) su (1+k, +oo). Non convergenza uniforme della stessa su (1, +oo). Non convergenza uniforme della serie (somma 1/(1+x^n)): uso della teoria astratta: se una successione converge uniformemente dovrebbe essere equilimitata: criteri di non convergenza uniforme: 1) f_n(x_n) non limitata, 2) se continue le f_n limite non continuo. F(x)=x^2 non e' uniformemente continua. (Vincenzo Maria Tortorelli) Riferimenti libro P.Acquistapace (per ieri) convergenza totale 2 Vol. pagg. 7-11, in astratto pagg. 56-57 serie di potenze 2 Vol. pag. 11 esercizi 2 Vol. pagg. 12-14 limiti di limiti e derivate di limiti 2 Vol. pagg. 15-20 NOTA nel libro il teorema sulla derivata del limite e' piu' raffinato di quello esposto a lezione (che si basava sulla continuita' delle derivate e sul teorema fondamentale del calcolo) esercizi pagg. 20-22 uniforme continuita 1 Vol. pagg. 309-311 esercizi 1 Vol. pag. 313 VMT

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[Ingandu] soluzioni e argomenti di ieri mattina
by Vincenzo Tortorelli 18 Dec '14

18 Dec '14

Allego tutte le risoluzioni ai quesiti della verifica di autovalutazione di lunedi 15 dicembre. Ho anche migliorato qualche punto della prima parte. Mer 17/12/2014 08:30-09:30 (1:0 h) esercitazione: Trovare la minima distanza rispetto alla seminorma L2 su -pigreco, pigreco della funzione cos x dall'insieme di funzioni ax+b con a^2+b^2=1. Ripetizione del problema duale di massimo xyz su xy+2yz+2xz=16. Ripetizone dell'interpretazione geometrica della distanza L1 come area tra i grafici, dell'interpretazione geometrica della distanza uniforme, e analogia tra il prodotto scalare di L2 con il prodotto scalare euclideo. Convergenza puntuale e totale sugli intervalli chiusi della serie di funzioni 1/(1+x)+ 1/(1+x^2)+ ... 1/(1+x^n) (Vincenzo Maria Tortorelli) Mer 17/12/2014 09:30-10:30 (1:0 h) lezione: Problema duale per funzioni positivamnte omogenee e vincoli che siano insiemi di livello di valore non nullo di funzioni positivamente omogenee. Relazione in tali problemi tra i moltiplicatori e i valori critici (formula di Eulero). CONVERGENZA TOTALE in astratto come criterio sufficiente in spazi di Banach per la convergenza in norma di serie. Caso della norma uniforme: la convergenza della serie numerica degli estremi superiori implica la convergenza convergenza uniforme della serie di funzioni. (Vincenzo Maria Tortorelli) VMT

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[Ingandu] appunti
by Vincenzo Tortorelli 16 Dec '14

16 Dec '14

Salve allego appunti sui i moltiplicatori di Lagrange nel caso di funzioni positivamente omogenee. Nei prossimi giorni spero di finire la scrittura delle soluzioni ai quesiti della seconda parte. VMT

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[Ingandu] (senza oggetto)
by Vincenzo Tortorelli 15 Dec '14

15 Dec '14

Ho trovato un errore di copiatura nelle soluzioni nell'esercizio 4 la risposta riassuntiva (come si evince dalla risoluzione) alfa tra - infinito e 3 escluso. VMT

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[Ingandu] TESTI E SOLUZIONI PRIMA PARTE
by Vincenzo Tortorelli 15 Dec '14

15 Dec '14

Salve oggi come mi avevate chiesto abbiamo fatto una simulazione di verifica. Eravate molto pochi. Comunque accludo i testi e le risoluzion dei quesiti della prima parte. Nei prossimi giorni ultimero' quelle della seconda. VMT

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[Ingandu] AVVISO CAMBIO ORARIO
by Vincenzo Tortorelli 15 Dec '14

15 Dec '14

Salve MERCOLEDI 17 DICEMBRE LA LEZIONE DI ANALISI 2 SI TERRA' DALLE ORE 8,30 ALLE ORE 10,30 IN AULA F6 SI E' FATTO UNO SCAMBIO CON LA LEZIONE DI MECCANICA RAZIONALE VMT

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[Ingandu] OGGI E DOMANI SCIOPERO
by Vincenzo Tortorelli 11 Dec '14

11 Dec '14

1) Domani aderisco allo sciopero generale non saro' in aula. 2) Argomenti di oggi: Gio 11/12/2014 08:30-09:30 (1:0 h) esercitazione: Conclusione ultimo tema prima facciata ese.6 foglio 4: p.ti e val. di mas. e min. rel. x^2+y^2+z^2 su (z+1)^2 -y^2 -(x+3)^2=0, z^2+y^2-(x+1)^2=0, z maggiore di -3: partendo dai candidati punti di minimo locale, qui tutti punti critici tangenziali (-3/2,0,1/2); (-5/2,0,-3/2), per il teorema del Dini si osserva che la varieta' e' unione di grafici disgiunti per la variabile y. Per determinar la natura dei punti critici basta calcolar il segno delle derivate seconde della composiziono con le funzioni implicite (una coppia x,z per ogni punto critico) f(x(y), y, z(y)) per y=0, le derivate prime x'(0), z'(0) son nulle. Sul vincolo f coincide con 2x^2 +2x+1. Basta il segno di x''(0): derivando due volte le condizioni di vincolo o usando le formule del teorema del Dini. Dal calcolo i due punti critici son minimi relativi. Il secondo e' punto di minimo assoluto. DOMANDA la f(x,y,z) e' limitata superiormente sul vincolo? (Vincenzo Maria Tortorelli) Gio 11/12/2014 09:30-10:30 (1:0 h) lezione: VALORI ESTREMALI E FUNZIONI POSITIVAMENTE OMOGENEE: problema modello da 12 cmq di materiale qual scatola aperta di volume massimo si ottiene? sup xyz con xy+2xz+2zy=12 nel primo ottante. Ingegneristicamente il massimo e' ovvio che esista. EQUIVALENZA PER FUNZIONI E PER VINCOLI OMOGENEI tra problema libero e problema vincolato. PROBLEMA DUALE PER FUNZIONE p OMOGENEA E VINCOLO LIVELLO DI q OMOGENA. Problema duale inf xy+2xz+2zy per xyz=1 primo ottante. Esistenza minimo: x=1/yz : ? min h(y,z) =1/z+2/y +2yz primo quadrante? Limite alla frontiera +oo. Limite all'infinito con 2-omogeneita' di yz e si puo' supporre sia z che y maggiori di 1/10 se no il valore della funzione e' maggiore di 5=h(1,1). Coordinate polari:stima dal basso del minimo su un arco di circonferenza di raggio R con angolo tra pi/4 e arsin 1/10R. Moltiplicatori di Lagrange RELAZIONE TRA VALORI CRITICI E MOLTIPLICATORI: si torna alle tre variabili. FARE I CALCOLI A CASA. (Vincenzo Maria Tortorelli) VMT

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[Ingandu] comunicazione e ieri e oggi
by Vincenzo Tortorelli 10 Dec '14

10 Dec '14

COMUNICAZIONE Paolo Acquistapace, Laura Cremaschi ed io, considerando che gli studenti presenti a lezione debbano consolidare le basi sia di calcolo differenziale e quelle di geometria analitica, riteniamo opportuno che in queste ultime due settimana si facciano principalmente esercizi. Pertanto si fara' un minimo di teoria nuova. In particolare e gli integrali di piu' variabili saranno fatti nel secondo semestre. IERI Mar 09/12/2014 11:30-12:30 (1:0 h) lezione: LEZIONE RECUPERO VISITA SAIE. Ricapitolazione degli schemi per lo studio dei valori estremi e dei punti estermali di funzioni di piu' variabili. Frontiera. Gradiente tangenziale = proiezione ortogonale del gradiente in un punto della k-variata' sul k-spazio tangente ad essa nel punto. DIMOSTRAZIONE: due funzioni che conicidono su una varieta' hanno lo stesso gradiente tangenziale. Punti critici tangenziali = il gradiente e' ortogonale alla varieta'. Per varieta' date come luoghi di zeri locali nelle ipotesi del Dini punto critico tangenziale = combinazione lineare dei gradienti delle funzioni che danno il luogo di zeri.DIMOSTRAZIONE: moltiplicatori di Lagrange e Lagrangiana.Curve di massima pendenza (flussi -gradiente) criterio affinche' un minimo locale alla frontiera sia minimo locale nel dominio. (Vincenzo Maria Tortorelli) Mar 09/12/2014 12:30-13:30 (1:0 h) esercitazione: ESERCITAZIONE RECUPERO VISITA SAIE. Valori estermi di x+y+z nell'ottante positivo con xyz=1: esitenza del minimo con limiti all'infinito e al bordo +oo, unicita' del punto stazionario vincolato (Lagrange), valore minimo 3. Deduzione della diseguaglianza: x+y+z maggiore eguale a 3 radice cubica (xyz). ALtro metodo: riduzione a due variabili libere z=1/xy. Dimostrazione diseguaglianza tra media aritmetica e media geometrica. ESERCIZI LASCIATI: penultimo tema esercizio 6 del foglio 4 p.ti e val. di mas. e min. rel. per exp[-x^2+y -z^2] su x^2/4 +y^2+ 3z^2 minore eguale ad 1; ultimo tema (difficile se completo) ibidem eadem x^2+y^2+z^2 sul vincolo (z+1)^2 -y^2 -(x+3)^2=0, z^2+y^2-(x+1)^2=0 z maggiore di -3. (Vincenzo Maria Tortorelli) OGGI Mer 10/12/2014 14:30-15:30 (1:0 h) lezione: RIASSUNTO della lezione di recupero: gradiente tangenziale e significato geometrico dei moltiplicatori. RIASSUNTO uso dei moltiplicatori per dimostrare la diseguaglianza tra media aritmetica e media geometrica di n numeri non negativi (omessa l'esistenza del minimo nel riassunto). (Vincenzo Maria Tortorelli) Mer 10/12/2014 15:30-16:30 (1:0 h) esercitazione: RISOLUZIONE ESERCIZI LASCIATI: penultimo tema prima facciata esercizio 6 del foglio 4 p.ti e val. di mas. e min. rel. per exp[-x^2+y -z^2] su x^2/4 +y^2+ 3z^2 minore eguale ad 1: riconoscimento ellissoide; esistenza massimo e minmo assoluto; nessun punto critico interno; punti critici tangenziali alla frontiera: quelli di valore massimo e minimo sono necessariamente i punti di massimo e minimo assoluto su tutto il dominio. Per il rimanente lungo un asse la funzione cresce, nella direzione x/2=z e' di massimo relativo sulla frontiera. Ultimo tema (difficile se completo) ibidem eadem x^2+y^2+z^2 sul vincolo (z+1)^2 -y^2 -(x+3)^2=0, z^2+y^2-(x+1)^2=0 z maggiore di -3: riconoscimento dei due coni nello spazio e di iperboli e cerchi nel piano; regolarita' del vincolo ; ricerca dei punti critici tangenziali con Lagrange. Da finire: natura di tali punti critici. (Vincenzo Maria Tortorelli)

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[Ingandu] stamani
by Vincenzo Tortorelli 05 Dec '14

05 Dec '14

Esercitazione 5/12/2014 In compresenza con la dottoressa Laura Cremaschi: esercizio sui moltiplicatori di Lagrange (polinomio di quarto grado in due variabili sul quadrato di centro l'origine e lato 2). Osservazione: sulla risoluzione dell'esercizio svolto il 4/12/2014. Osservazione: data f definita e regolare sulla chiusura di una aperto D. Un punto p di frontiera, regolare in un intorno U di p, che sia di minimo relativo di f ristretta alla frontiera, se il gradiente della f punta all'interno di D, allora p e' di minimo relativo per tutto il dominio: si segue il flusso gradiente in un intorno c'(t) =grad f(c(t)) c(0)=u in U. Si ha che f(c(t)) e' crescente avendo come derivata |grad f(c(t))|^2 stettamente positivo. VMT

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