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[Ingandu] (senza oggetto)
by Vincenzo Tortorelli 14 Nov '14

14 Nov '14

Oltre ad un cennio a quanto svolto stamani allego un quarto fogli di esercizi sugli argomenti che verranno svolti dalla prossima settimana. Ven 14/11/2014 11:30-12:30 (1:0 h) lezione: Teo. di invertib. loc., formule derivate dell'inversa. Interpretazione:f(x) =(f1(x1,..,xd), f2(x1...xd), ... fd(x1 ...xd)) funzione C1 da Rd in Rd, il sistema f(x)=c ha p soluzione f(p)= c per cui il sistema lineare df(p) x= 0 ha un'unica soluzione allora per z ``vicino a c'', il sistema f(x)=z ha ``vicino a p'' un'unica soluzione x(z) regolare quanto f. Domanda: l'immagine di una funzione ``vicino a un suo valore '' e' un grafico? (cos (t^3+1), sin (t^3+1)), (x,y,x^2+y^2), (t^2,t^3). Teo.rango: d minore m,f da Rd a Rm, df(p) di rango massimo: esiste B intorno di p f(B) e' un grafico e il tangente a f(B) in f(p) e' il traslato in f(p) dell'immagine di df(p), base e' data della derivate parziali in p di f. f(t)= (t^2, t^3)= (g(t), k(t)) qui d=1, m =2 mostra la linea dimostrativa: nuova variabile u=k(t) invertibile:un punto dell'immagine e' del tipo (g(k^{-1}(u), u). Grafico di curva che all'infinito torna su di se. Riferimento al libro di Acquistapace: 1 vol. cap 1.9: enunciato teorema di invertibilita' locale ed esempi pagg.88-89-90-91-92-93, osservazione 1.9.2.11 pag. 92-93; enunciato teorema del rango pag. 93-94 (l'inizio della dimostrazione chiarisce l'interpretazione dell'enunciato, l'esempio dato a lezione f(t)=(t^2, t^3) l'ultimo ``gruppo di variabili t^3'' e' una funzione invertibile t^3=u ); esempi pag.95-96. Esercizi pagg. 96-97-98-99.

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[Ingandu] ARGOMENTI DI OGGI
by Vincenzo Tortorelli 13 Nov '14

13 Nov '14

Gio 13/11/2014 08:30-09:30 (1:0 h) lezione: Teorema del Dini 1.3 vettoriale rispetto a un qualsiasi gruppo di variabili, notazione x-sigma e x-tau, formula derivate funzioni implicite. Modo d'intendere l'enunciato: l'insieme Z delle soluzioni di un sistema f(x)=c non lineare, d-incognite x1...xd, m equazioni f1=c1, ...fm=cm, m minore d, vicino a un punto p per cui f(p)=c, rango df(p) e' massimo =m, ha d-m gradi di liberta' anzi e' grafico di una funzione di d-m variabili a valori in Rd e quindi si calcolano le derivate delle m variabili dipendenti rispetto alle d-m indipendenti. Quindi il piano tangente in p a Z e' dato dalle soluzioni del sistema lineare non omogeneo df(p)x= df(p)p con m equazioni e d incognite. Derivate successive delle funzioni implicite. Esercizio trovare il piano tangente in (0,1,1) all'insieme delle soluzioni del sistema xyz=0, x^2+y^2+z^2 =2, trovare le derivate prime e le derivate seconde delle variabili dipendenti nel punto. (Vincenzo Maria Tortorelli) Gio 13/11/2014 09:30-10:30 (1:0 h) esercitazione: In compresenza con la dottoressa Laura Cremaschi: studio dei valori di massimo e minimo della funzione x/(1 + x^2+y^2) con il calcolo differenziale. Esercizio lasciato: studiare lo stesso problema con il massimo dei massimi delle restrizioni e il minimo dei minimi delle restrizioni a rette parallele agli assi. Studiare i punti e i valori di massimo e minimo assoluto della funzione x^4+y^4+z^4 -(x-y-z)^2 +1. Condizioni sufficienti sul segno stretto degli autovalori della matrice Hessiana simmetrica calcolata in un punto stazionario, per la natura del punto stazionario. Criterio della variazione del segno dei minori per avere il segno degli autovalori di una matrice simmetrica. (Vincenzo Maria Tortorelli)

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[Ingandu] argomenti di oggi
by Vincenzo Tortorelli 13 Nov '14

13 Nov '14

Mer 12/11/2014 14:30-16:30 (2:0 h) lezione: Teorema dal Dini in due variabile per funzioni a valori reali enunciato: DIM. formula per la derivata della funzione impilicita e per il piano tangente; esempio equazione retta tangente in (2,1) a f(x,y)= x^y+y^x -3=0. Teorema del Dini in piu' di due variabili per funzioni reali, enunciato rispetto ad una qualsiasi variabile e fromule relative: esempio iperpiano tangente 5-dim in (0,0,0,0,0,0) a f(a,b,c,d,e,f)=0 per f= b exp(a+e) +a^2 + ae +df^3 +log (1 +b^2 +f^4). Regola di Cramer per matrici. Notazione alla Leibniz per i minori dello Jacobiano come differenziali di restrizioni. Teorema del Dini in piu' variabili per funzioni vettoriali da Rd in Rm, m minore d: formula del piano tangente e delle derivate delle ultime m variabili rispetto alle prime d-m variabili quando il minore dello Jacobiano rispetto alle ultime m e' invertibile. (Vincenzo Maria Tortorelli) Per quanto riguarda i teoremi del Dini, come riferimento al libro di Acquistapace, ripeto quanto gia' indicato la scorsa settimana. Mi riferisco quindi al testo specificando le pagine da prendere in esame: 2 Vol. cap. 1.9 enunciato teorema del Dini reale ed osservazioni pagg.72-73-74, esempio 1.9.4 pagg. 77-78; enunciato teorema del Dini vettoriale pag.84-85 osservazione 1.9.7 pag. 87-88, enunciato teorema di invertibilita' locale ed esempi pagg.88-89-90-91-92, osservazione 1.9.2.11 pag. 92-93; Esercizi pagg. 96-97-98-99. VMT _______________________________________________ Ingandu mailing list Ingandu(a)mail.dm.unipi.it https://mail.dm.unipi.it/listinfo/ingandu

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[Ingandu] esercitazione di venerdi
by Vincenzo Tortorelli 11 Nov '14

11 Nov '14

Ven 07/11/2014 11:30-12:30 (1:0 h) esercitazione: In compresenza con la dottoressa Laura Cremaschi: prodotto scalare tra matrici quadrate come elementi di Rnxn, il differenziale ed il gradiente del determinante mediante derivate direzionali e mediante la regola per derivare ``prodotti'' -cioe' funzioni multilineari quale e' il determinante-, matrice dei cofattori; definizione di frontiera di un sottoinsieme di uno spazio metrico; procedura per affrontare lo studio dei punti di massimo e minimo di una funzioni di piu' variabili: punti ove non e' differenziabile, punti ove il differenziale e' nullo, comportamento sulla frontiera e ``all'infinito''; studio di massimi e minimi di una funzione di due variabili mediante l'analisi delle linee di livello, limiti all'infinito, metodo di quadratura per riconoscere coniche e altre accortezze elementari. (Vincenzo Maria Tortorelli)

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[Ingandu] argomenti di oggi
by Vincenzo Tortorelli 06 Nov '14

06 Nov '14

Gio 06/11/2014 08:30-09:30 (1:0 h) lezione: Derivate di funzioni lineari per componenti. Derivate e differenziali di ``prodotti'' composizione con funzioni multilineari: DIM. dB(f(x),g(x))[h,k] =B(df(x)[h], g(x)) +B(f(x), dg(x)[k]). Derivata del determinante di una matrice di funzioni di una variabile, derivate di prodotti vettoriali. Esercizio lasciato: trovare il differenziale del determinante usando la definizione di derivata direzionale. Enunciato teorema di Schwarz sul cambio di ordine di derivazione in ipotesi di continuita' e controesempio. Definizone di chiusura di un insieme. Spazi vettoriali Ck, Dk, Ck forte della chiusura. Funzioni positivamente omogenee di grado a, insiemi stellati rispetto a un punto e coni: DIM. teorema di Eulero e derivata radiale (componente radiale del gradiente). Derivate radiali e tangenziali:gradiente in altra base ortonomale (variabile da punto a punto) con derivate direzionali. Ese. sin (x^2+y^2+z^2) derivata radiale e ortogonalita'ai livelli. (Vincenzo Maria Tortorelli) Gio 06/11/2014 09:30-10:30 (1:0 h) lezione: Dalla lezione del 31-10: SLOGANs: 2) tangente a immagine e' immagine del diff. 3) tangente a luogo di zeri e' nucleo del diff.DOMANDE A)l'immagine di g:Rd->Rm vicino a p e' grafico di f:Rd->R(m-d), e' vero 2)? B)il luogo di zeri di F:Rd->Rm vicino a p e' grafico di f:R(d-m)->Rm, vero 3)? SCHEMA TEO.1.1-2-3(Dini m< d f:Rd->Rm) se f C1 e grad f ha rango massimo: B) vero. TEO.2(Rango m>d f:Rd->Rm)se f C1 e diff f ha rango massimo: A) vero, base tangente=derivate parziali. TEO.3(Invertibilita' locale f:Rd->Rd) f C1 diff f rango max in p: una restrizone di f ad un intorno di p e' iniettiva con f(p) interno alla sua immagine. (Vincenzo Maria Tortorelli) Riferimenti libro Acquistapace: Per la definizione di chiusura 2 vol. def.1.5.10 pag. 36. Per la componente radiale del gradiente si esaminino 1 vol. cap 4.5 esempi 4.5.3 pagg. 243-244. Teorema di Eulero sulle funzioni omogenee: 1 vol. cap. 4.5 esercizio 3 pag. 239. Per il teorema di Schwarz e gli spazi di funzioni: 1 vol. cap 4.6 pagg.245-246, e l'esercizio 5 pag.248 Per il differenziale di una forma quadratica in componenti pag.278 (a lezione si e' visto di piu'). Per quanto riguarda i teoremi del Dini del rango e di invertibilita' locale di cui abbiamo introdotto il significato degli enunciati conviene anticipare lo studio di tali enunciati prima dell'esposizione a lezione. Mi riferisco quindi al testo specificando le pagine da prendere in esame: 2 Vol. cap. 1.9 enunciato teorema del Dini reale ed osservazioni pagg.72-73-74, esempio 1.9.4 pagg. 77-78; enunciato teorema del Dini vettoriale pag.84-85 osservazione 1.9.7 pag. 87-88; enunciato teorema di invertibilita' locale ed esempi pagg.88-89-90-91-92, osservazione 1.9.2.11 pag. 92-93; enunciato teorema del rango pag. 93-94 (l'inizio della dimostrazione chiarisce l'interpretazione dell'enunciato) osservazione 1.9.13 pag.95 ATTENZIONE VA CORRETTA c'e' un refuso: con `localmente' si intende localmente nel dominio non nel codominio; esempi pag.95-96. Esercizi pagg. 96-97-98-99. VMT

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[Ingandu] argomenti di oggi
by Vincenzo Tortorelli 06 Nov '14

06 Nov '14

Mer 05/11/2014 14:30-15:30 (1:0 h) lezione: Derivate parziali successive, derivate direzionali successive, matrice H(Hessiana) delle derivate seconde. DIM: se la funzione e' differenziabile e lo sono anche le sue derivate parziali prime allora la derivata direzionale seconda nelle direzioni w e v e' data da vHw. Esercizio lasciato: esprimere (f(c(t))'' in termini delle derivate di f e di c''(t). Regola di Leibniz della catena nel caso generale: analogia con la derivata di funzione composta: composizione dei differenziali (prodotto righe per colonne delle matrici Jacobiane) DIM. usando il lemma degli ``o''. DIM. Regola di Leibniz per le derivate parziali. DIM. Differenziale dell'inversa. Cambiamenti di coordinate: per punti, per vettori e per covettori. Generazione di funzioni differenziabili: composizione, spazio vettoriale, il differenziale delle lineari e' costante, dxi come differenziale della proiezione i-esima, differenziale dei prodotti di coordinate. Il differenziale della norma e della norma al quadrato. (Vincenzo Maria Tortorelli) Mer 05/11/2014 15:30-16:30 (1:0 h) esercitazione: Esercizi di calcolo di derivate parziali successive. Accortezza empirica: se vi sono variabili rispetto a cui non si deriva, preliminarmente a queste si sostituiscono i valori delle coordinate del punto ove si vogliono calcolar le derivate e quindi si deriva. Quando ``non ci si accorge di usare'' la regola della catena: calcolo diretto delle derivate delle funzione sin (xy) rispetto alle variabili polari. Verifica che usando la regola viene lo stesso. Quando la complessita' della regiola della catena viene fuori comunque: (impostazione dell'esercizio 11 del terzo foglio) se G(r, a)= F(x,y), (x,y)=(r cos a, r sin a), esprimere la derivate di F rispetto a x con r, a, e le derivate rispetto a queste variabili. (Vincenzo Maria Tortorelli) Riferimento ai libri di Acquistapace: Regola della catena: 1 Vol. cap 4.5 pagg.241-244. Derivate successive: 1 Vol. cap. 4.6 pagg.244-246, esercizi pag.248.

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[Ingandu] argomenti di oggi
by Vincenzo Tortorelli 01 Nov '14

01 Nov '14

Ven 31/10/2014 11:30-12:30 (1:0 h) lezione: Grafico f:A->Rm, A in R= immagine di g:A->R(m+d), g(x)=(x, f(x))=insieme di livello di F:AxRm->Rm, F(x,z)= f(x)-z. f differenziabile in p: il tangente al grafico in P=(p,f(p)) e': 1- graf.della funz. lineare d_pf x traslato in P; 2- immagine della funz.lin. (x,d_pf x)=d_p (y,f(y)) x tras. in P; 3- nucleo della funz. lin. d_pfx - z= d_(p,v)(f(y)-v)(x,z) tras. in P. SLOGAN:1 tangente a grafico e' grafico traslato del differenziale, 2 tan. a immagine e' l'immagine tras. del diff., 3 tan. a luogo di zeri e' il nucleo tras. del diff.. DOMANDE: A)L'immagine di g:A->Rh vicino a p in A e' grafico di f: Rd->R(h-d)? E' vero 2? permette di non calcolare f per trovare il tangente. B)L'insieme di livello di F:Rh->Rm vicino a p e' grafico di una f:R(h-m)->Rm? E' vero 3? DIM. derivata f(c(t)), t in R. DIM. Teo.9 grad f(p) non nullo direzione di massima pendenza in p, sua norma massima pendenza, ortogonale alle curve per p a valori in {f(x)=f(p)}. (Vincenzo Maria Tortorelli) Riferimenti libro Acquistapace: Derivabilita' della composizione con curve: 1 Vol. cap.4.5 pag.241 (non usa il lemma che immagine lineare di un `o' e' un `o' la dimostrazione e' un pochino piu' lunga di quella vista a lezione). Gradiente come direzione di massima pendenza e ortogonalita' alle curve con valori nell'insime di livello: 1 Vol. cap.4.2 pagg.226-227. ATTENZIONE, ATTENZIONE: la trattazione fatta nel libro dell'ortogonalita' alle pagg.227-228 e' molto piu' difficile di quella esposta a lezione: qui dimostra gia' che l'insieme di livello ha un piano tangente. Invece a lezione abbiamo semplicemente detto che se una curva c(t) e' a valori nell'insieme di livello {x: f(x)=f(p)} e c(0)= p allora grad f(p) e' ortogonale a c'(0), semplicemente derivando la relazione f(c(t))= f(p). immagini: 2 Vol. cap. 1.9 pag. 93 osservazione preliminare al teorema del rango pagg.95-96 osservazioni ed esempi. 2 Vol. cap. 4.9 pag. 451-453. luoghi di zeri: 2 Vol.cap.1.9 esempi ed osservazioni pagg.72-73 , pag.88, esempio 1.9.4 pag. 76, osservazioni preliminari al teorema di invertibilita' pag. 93.

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[Ingandu] mailing list
by Vincenzo Tortorelli 30 Oct '14

30 Oct '14

Salve cortesemente prego chi si e' iscritto, o si volesse iscrivere, alla mailing-list di mettere nell'ordine anche Cognome Nome e numero di matricola. Alcuni non l'hanno fatto se pur iscritti. VMT

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[Ingandu] avviso di massima e argomenti di oggi
by Vincenzo Tortorelli 30 Oct '14

30 Oct '14

Ricordo che: - nella pausa esami tra il primo e il secondo semestre come richiesto da alcuni di voi vi sara' la prova in itinere fiscale. - subito prima delle vacanze di Natale cercheremo di organizzare una simulazione in classe di prova in itinere. -quest'anno essendo la prima volta che si tiene questo corso non possono esserci esercizi da esame con soluzioni. L'idea e' che tra i libro di Acquistapace, i fogli di esercizi, e gli esercizi proposti a lezione ed esercitazione abbiate diversi temi su cui cimentarvi. Quindi per le soluzioni venite a ricevimento. Oggi in sostanza abbiamo fatto esercitazione con un ampio richiamo alle notazioni per il piano tangente ad un grafico, ieri introdotte, e un assaggio riguardante la differenziabilita' di funzioni composte: Gio 30/10/2014 08:30-09:30 (1:0 h) esercitazione: - Iperpiano tangente al grafico come traslato del grafico della funzione lineare data dal differenziale:vettore normale al grafico, e base della giacitura del tangente al grafico tramite i vettore della base canonica sul dominio e le rispettive derivate parziali. - Angolo (coseno dell'angolo) tra i sostegni di due curve in un punto di incidenza. Angolo tra due iperpiani come angolo tra i vettori normali. Angolo tra due grafici in un punto di incidenza come angolo tra gli iperpiani tangenti. -Dati due cilindri circolari retti di raggio unitario con assi inciedenti e perpendicolari trovare l'angolo nei punti di intersezione delle due superfici. (Vincenzo Maria Tortorelli) Gio 30/10/2014 09:30-10:30 (1:0 h) esercitazione: In compresenza con la dottoressa Laura Cremaschi: esercizio sulla differenziabilita' di f(x,y)=1+ ((x-1) y^2)^(1/3}: vari modi per calcolare le derivate parziali, uso del teorema del differenziale totale, non esistenza derivate parziali comporta non differenziabilita', dipendenza non lineare delle derivate direzionali in un punto dalle derivate parziali nello stesso comporta non differenziabilita. Derivate direzionali come derivate di funzioni composte, derivata della composizione con una curva regolare nel caso di differenziabilita'= derivata direzionale rispetto al vettore velocita'. (Vincenzo Maria Tortorelli) VMT

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[Ingandu] (senza oggetto)
by Vincenzo Tortorelli 30 Oct '14

30 Oct '14

Argomenti di oggi: Mer 29/10/2014 14:30-16:30 (2:0 h) lezione: DIMOSTRAZIONE Teorema del differenziale totale (Teo.4). DIM. Lemma della trasformazione lineare di un `o'. Derivate direzionali e differenziale (Teo. 5). Differenziale della somma e del prodotto: lo spazio vettoriale C1(Omega, Rm) (Teo.6). Controesempio: funzione continua e con tutte le derivate direzionali nulle in un punto ma non differenziabile nel punto. DIM. diseguaglianza del valor medio integrale per funzioni vettoriali C1 (Teo 7). Iperpiano tangente al grafico come traslato del grafico della funzione lineare data dal differenziale:vettore normale al grafico, base della giacitura del tangente al grafico tramite i vettore della base canonica sul dominio e le rispettive derivate parziali (Teo. 8). (Vincenzo Maria Tortorelli) Riferimenti al libro di Paolo Acquistapace: 1 Vol. cap. 4.2 piano tangente pag. 224, derivate direzionali pag. 224-226, esercizi pagg.228-230. 1 Vol. cap. 4.4 Teorema del differenziale totale pagg. 238-239, esercizi pagg. 239-240. Per un richiamo agli integrali vettoriali e alla diseguaglianza triangolare negli integrali (da cui abbiamo ricavato la diseguaglianza integrale del vaolr medio) 1 Vol. cap. 5.5 pag.323. VMT

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