Dunque oggi si sono analizzate le nozioni introdotte nella seconda parte della lezione di mercoledi:
Ven 24/10/2014 11:30-12:30 (1:0 h) lezione: APPROSSIMAZIONE LINEARE.DIFFERENZIABILITA' IN UN PUNTO:per definizione l'errore di approssimazione degli incrementi della funzione con una funzione lineare degli spostamenti nel dominio non solo e' infinitesima rispetto a questi ma e' indipendente dalla direzione. Teo. 1 DIMOSTRAZIONE Se f:Rd->Rm e' differenziabile in un punto allora ha le derivate parziali in quel punto, e nelle coordinate usuali di Rd e Rm, la matrice associata all'applicazione lineare differenziale nel punto, e' quella che ha come colonne le derivate parziali della funzione nel punto: matrice Jacobiana. Matrice dei gradienti: la trasposta della Jacobiana. Teo. 2 DIM. Se f e' differenziabile in p allora e' continua in p. Teo. 3 F e' differenziabile se solo se lo e' per componenti. Controesempio (il solito) funzione con derivate parziali in un punto e non differenziabile. Teo. 4 Enunciato teorema differenziale totale. COMPITO A CASA studiar la dimostrazione, per discuterne insieme.
Per i riferimenti al libro di Acquistapace in rete che riguardano gli argomenti trattati nelle due ultime lezioni:
Integrali di funzioni a valori in Rm: 1 Vol. cap. 5.5 pagg. 323 definizione e diseguaglianza triangolare.
Generazione di funzioni continue: 1 Vol. cap.3.2 esem. 3.2.5 pag. 179 le affini sono Lipschitziane, esem. 3.2.6 pag.181 controesempio separata continuita', esercizi 3.2.1 pag.181 (composizione di continue), 3.2.5 pag 182 (prodotto), 3.2.8 pag.182 (componenti).
Differenziabilita' e derivate parziali: 1 Vol. cap 4.2 derivate parziali ed esempi pagg.221-222, differenziabilita' e Teoremi 1 e 2 dimostrati a lezione proposizione 4.2.5, punti ii) ed i) rispettivamente, pagg. 222-223. Piano tangente definizione 4.2.8 pag. 224.
Il Teorema 4 enunciato a lezione e' il teorema del differenziale totale 1 Vol. cap. 4.4 pagg.238-239.
Il teorema 3 enunciato a lezione, cioe' la differenziabilita' delle funzioni vettoriali, e' dimostrato implicitamente nell'enunciato, e nella sesta riga della dimostrazione, del teorema 4.5.2 a pag. 242 sempre nel Volume 1.
Bene mi sembra ci sia tutto vedete un po la dimostrazione del teorema del differenziale totale che sara' l'inizio della prossima lezione.
VMT