***1) PRIMA PROVA IN ITINERE CON VALORE FISCALE
giovedi 26 Febbraio 2015, ore 14,30 aula Etr F8.
SI PREGA DI ISCRIVERSI, E DI COMPILARE IL QUESTIONARIO.
**2) PROVA IN ITINERE DI VERIFICA PRELIMINARE
lunedi 15 Dicembre 2014, ore 15,30 aula A26.
SI PREGA DI ISCRIVERSI, E DI COMPILARE IL QUESTIONARIO.
*3) Conferma recupero lezione/esercitazione
martedi 9 Dicembre ore 11,30-13,30 aula PN10 al posto del Professor Fiamma.
IERI:
Mer 03/12/2014 14:30-16:30 (2:0 h) lezione: Ripasso: estermo sup. ed inf.: valori estremali versus valori di massimo e minimo. Punti di valore estremale relativo. Varianti di Weiestrass esistenza di punti di valore mas.e min. assoluto (condizioni sufficienti): domini chiusi non limitati: DIM. per avere un punto di minimo basta che fuori da una palla i valori della funzione sian piu' grandi di almeno un suo valore (e.g.f(x)-> +oo se |x|->+oo ). Domini non chiusi e non limitati, simile: avvicinandosi alla frontiera piuttosto che all'infinito. DIM. Condizioni necessarie sulle derivate: punti critici interni, frontiera derivate direzionali esterne di segno predeterminato, matrice Hessiana semidefinita. Cond. suff. con le derivate, DIM.: 1- punto critico ed Hessiana srtettamente definita nel punto, 2- punto critico ed Hessiana semidefinita nell'intorno. Strategia estremali assoluti 1.1 punti non diff., 1.2 punti critici, 1.3 frontiera 2 confronto valori. Estremali relativi interni 1.1 non diff. 1.2 critic. 2 Hessiano. (Vincenzo Maria Tortorelli)
Riferimento libro P.Acquistapace:
Ripasso teorema di Weiestrass e varianti: 1 Vol. cap. 3.4 pagg.195-196.
NOTA: si ricordino le varianti al teorema di Weiestrass come condizioni sufficenti per l'esistenza di punti di valore massimo o minimo.
Ripasso forme quadratiche ed esercizi: 1 Vol. cap. 4.10 pagg.278-282
Condizioni necessarie e condizionisufficienti con le derivate ed esercizi: 1 Vol. cap. 4.11 pagg. 282-287
NOTA:
1- per le condizioni necessarie sulle derivate prime per punti interni a lezione si e' fatto a meno della differenziabilita' e si e' usata solo l'esistenza di una derivata direzionale.
2- le condizioni necessarie sulle derivate prime per punti di frontiera regolari son state fatte a lezione ma non risultano sul libro.
3- per le condizioni sufficienti a lezione si e' detto in piu' che se grad f(p)= 0 e vi e' U intorno di p per cui Hessf(x) semidefinito per x in U allora p e' punto di valore estremo relativo.
STAMANI
36. Gio 04/12/2014 08:30-09:30 (1:0 h) esercitazione: Massimi e minimi assoluti di f(x,y,z)= x^2-y^4+2z su [-1,1]x[-2,1]x[0,1], (Gobbino):mancanza di punti cirtici, studio alla frontiera parametrizzata a pezzi, frontiera dei pezzi di frontiera, fino a ridursi a funzioni di una variabile. Esercizio 4 foglio n.4: f(x,y)= 2x^4 -x^2exp y +exp(4y). Punti critici, loro natura (Hessiano). Punto critico del ``passo di montagna'' ``all'infinito''. Estremo superiore, estremo inferiore (minorazione usando il metodo di quadratura). Non vi e' minimo assoluto. Esercizio per esemplificare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange: studiare i valori di massimo e minimo di x^2+y^2 per xy=1, soluzione grafica, interpretazione con formule: gradienti paralleli. (Vincenzo Maria Tortorelli) 37. Gio 04/12/2014 09:30-10:30 (1:0 h) lezione: Moltiplicatori di Lagrange:per studiare un problema di massimo o minimo su un pezzo di frontiera o di varieta', come luogo di zeri, se non e' comodo trovar parametrizzazioni locali (non si puo' usare composizione e riduzione delle variabili). Teorema (cond. necessaria) Se p e' un punto di mass. o min. relativo di f interno a V={x: g(x)=0}, f C1 def. in un aperto di R^d contenente V, g C1 a valori in R^{d-k} grad f(p) non 0, rango dg(p) massimo n-k allora esistono l1, l2 ...l(d-k) per cui grad f(p)= l1 grad g1(p) + l2 grad g2(p) + ... .DIM.per d=2, k=1. I punti di massimo o minimo relativo di f su V={g=0} si cercano tra 1.1.1 i punti di V ove f e g non sono diff., 1.1.2 i punti di V ove grad f =0 o rango dg non massimo 1.2 i punti di V soluzioni ``regolari'' del sistema di Lagrange 1.3 i punti di V che siano punti di bordo.
Ese. lasciato:1) mass. e min. di x+y+z per xyz=1, 2) usare per mostrar che (x+y+z)/3 e' maggiore della radice cubica di xyz. (Vincenzo Maria Tortorelli)
Moltiplicatori di Lagrange ed un sacco di esempi ed esercizi sull'argomento: 2 Vol. cap. 1.10 pagg.99-107
NOTA:
1- a lezione si e' usato come al solito d invece di N, e d-k invece di k.