Gio 06/11/2014 08:30-09:30 (1:0 h) lezione: Derivate di funzioni lineari per componenti. Derivate e differenziali di ``prodotti'' composizione con funzioni multilineari: DIM. dB(f(x),g(x))[h,k] =B(df(x)[h], g(x)) +B(f(x), dg(x)[k]). Derivata del determinante di una matrice di funzioni di una variabile, derivate di prodotti vettoriali. Esercizio lasciato: trovare il differenziale del determinante usando la definizione di derivata direzionale. Enunciato teorema di Schwarz sul cambio di ordine di derivazione in ipotesi di continuita' e controesempio. Definizone di chiusura di un insieme. Spazi vettoriali Ck, Dk, Ck forte della chiusura. Funzioni positivamente omogenee di grado a, insiemi stellati rispetto a un punto e coni: DIM. teorema di Eulero e derivata radiale (componente radiale del gradiente). Derivate radiali e tangenziali:gradiente in altra base ortonomale (variabile da punto a punto) con derivate direzionali. Ese. sin (x^2+y^2+z^2) derivata radiale e ortogonalita'ai livelli. (Vincenzo Maria Tortorelli) Gio 06/11/2014 09:30-10:30 (1:0 h) lezione: Dalla lezione del 31-10: SLOGANs: 2) tangente a immagine e' immagine del diff. 3) tangente a luogo di zeri e' nucleo del diff.DOMANDE A)l'immagine di g:Rd->Rm vicino a p e' grafico di f:Rd->R(m-d), e' vero 2)? B)il luogo di zeri di F:Rd->Rm vicino a p e' grafico di f:R(d-m)->Rm, vero 3)? SCHEMA TEO.1.1-2-3(Dini m< d f:Rd->Rm) se f C1 e grad f ha rango massimo: B) vero. TEO.2(Rango m>d f:Rd->Rm)se f C1 e diff f ha rango massimo: A) vero, base tangente=derivate parziali. TEO.3(Invertibilita' locale f:Rd->Rd) f C1 diff f rango max in p: una restrizone di f ad un intorno di p e' iniettiva con f(p) interno alla sua immagine. (Vincenzo Maria Tortorelli)
Riferimenti libro Acquistapace:
Per la definizione di chiusura 2 vol. def.1.5.10 pag. 36.
Per la componente radiale del gradiente si esaminino 1 vol. cap 4.5 esempi 4.5.3 pagg. 243-244.
Teorema di Eulero sulle funzioni omogenee: 1 vol. cap. 4.5 esercizio 3 pag. 239.
Per il teorema di Schwarz e gli spazi di funzioni: 1 vol. cap 4.6 pagg.245-246, e l'esercizio 5 pag.248
Per il differenziale di una forma quadratica in componenti pag.278 (a lezione si e' visto di piu').
Per quanto riguarda i teoremi del Dini del rango e di invertibilita' locale di cui abbiamo introdotto il significato degli enunciati conviene anticipare lo studio di tali enunciati prima dell'esposizione a lezione. Mi riferisco quindi al testo specificando le pagine da prendere in esame:
2 Vol. cap. 1.9 enunciato teorema del Dini reale ed osservazioni pagg.72-73-74, esempio 1.9.4 pagg. 77-78; enunciato teorema del Dini vettoriale pag.84-85 osservazione 1.9.7 pag. 87-88; enunciato teorema di invertibilita' locale ed esempi pagg.88-89-90-91-92, osservazione 1.9.2.11 pag. 92-93; enunciato teorema del rango pag. 93-94 (l'inizio della dimostrazione chiarisce l'interpretazione dell'enunciato) osservazione 1.9.13 pag.95 ATTENZIONE VA CORRETTA c'e' un refuso: con `localmente' si intende localmente nel dominio non nel codominio; esempi pag.95-96. Esercizi pagg. 96-97-98-99.
VMT