From tortorel@dm.unipi.it Fri Oct 10 17:42:08 2014 Date: Fri, 10 Oct 2014 17:42:08 +0200 (CEST) From: Vincenzo Tortorelli To: ingandu@mail.dm.unipi.it Subject: riferimenti libri/esercizi Salve per la parte iniziata stamani senza dubbio e' utile e comodo consultare i libri disponibili in rete di Paolo Acquistapace: essi contengono molto di piu' di quanto visto. Pertanto vi indico le pagine per ora toccate: Volume A1 in Rn: paragrafo 1.11 pagg. 59-61, 68-70 (pagg 61-68 ripasso di geometria piana per chi ha ancora dei dubbi) (pagg 71 esercizi) paragrafo 3.1 pagg 164-167, paragrafo 3.2 pagg 174-177 Volume A2 in ambiente astratto e di funzioni: paragrafo 1.3 pagg 22-24, paragrafo 1.4 pagg 26-27 e pag 29, (esercizi pagg 31-33) paragrafo 1.5 pagg 32-34 Inoltre i due volumi presentano ponderose dimostrazioni: noi a lezione ne abbiamo fatte si e no due nei casi piu' semplici. From tortorel@dm.unipi.it Wed Oct 15 19:37:59 2014 Date: Wed, 15 Oct 2014 19:54:00 +0200 (CEST) From: Vincenzo Tortorelli To: ingandu@mail.dm.unipi.it Subject: [Ingandu] resoconto e riferimenti bibliografici Mer 15/10/2014 14:30-16:30 (2:0 h) lezione: LINGUAGGIO COMUNE A SPAZI EUCLIDEI E SPAZI DI FUNZIONI.1)diseg. Cauchy-Schwartz DIMOSTRAZIONE nel caso reale, distanze associate a prodotti scalari. Spazi di successioni: l1, l2, loo analogia norme viste in Rn. Norma Loo sulle funz. limitate, norma L1 sulle funz. assolutamente integr. in senso generalizzato, norma L2 sulle funz. con quadrato a.i.g.: interpretazione geometrica sui grafici. 2) Def. palle aperte, chiuse, sfere in spazi metrici, limite di curve e successioni a valori in uno spazio metrico. Punti di accumulazione e punti isolati. Definizione di limite per funz. tra spazi metrici: UNICITA' del limite, CRITERI di NON esistenza del limite. Punti di continuita' e restrizioni continue. 3)ES. LIMITI IN PIU' VARIABILI: A)uso del crit. di non esistenza per composizione con cammini (riduzione a limiti di una variabile), B) uso delle coordinate sferiche per C) ridursi con diseguaglianze a limiti di una variabile. (Vincenzo Maria Tortorelli) Riferimenti bibliografici P.Acquistapace http://www.dm.unipi.it/~acquistp/inge.html CauchySchwartz e diseguaglianza triangolare: 1 vol. cap.3.1 pag.166 2 vol. cap 1.2 pagg.24 Spazi prehilbertiani e normati: 2 vol. cap.1.2 esempi pagg.23-24 esercizi pag.25 , 2 vol. cap. 1.3 esempi pagg. 27-29 esercizio 1 pag. 31, esercizi 1, pag. 40 Palle: 1 vol. cap.3.1 pag.167, 2 vol. cap. 1.5 def. 1.5.3 pag. 34 Convergenza in spazi metrici: vol.2 cap.1.1 def.1.1.2 convergenza uniforme pagg. 4-6, vol. 2 cap 1.5 def. 1.5.6 pag. 35 Punti di accumulazione: 1 vol. cap.3.1 def. 3.1.11 pag.170 esercizi 10, 12, 13, 15 pagg.173-174, 2 vol. cap. 1.5 def. 1.5.7 pag.35 Continuita': 1 vol. cap.3.2 pag.178 esercizi 8, 9 , 10, 2 vol. cap. 1.5 def. 1.5.12 pag. 36 Limiti di funzioni in piu' variabili: 1 vol. cap.3.3 pagg. 183/187-189, esercizi 21, 22 pag.195 From tortorel@dm.unipi.it Thu Oct 16 20:09:11 2014 Date: Thu, 16 Oct 2014 20:09:11 +0200 (CEST) From: Vincenzo Tortorelli To: ingandu@mail.dm.unipi.it Subject: lezione di oggi ed esercizi Gio 16/10/2014 08:30-10:30 (2:0 h) lezione: LINGUAGGIO COMUNE: DIMOSTRAZIONE diseguaglianze tra norme in Rd e convergenza per componenti.Punti interni, aperti, chiusi, densi: Dens. unif. dei polinomi in C[a,b] Berstein. Limitati, funzioni limitate DIM.chiuso sse chiuso per successioni. Limiti all'infinito in spazi normati. Successioni di Cauchy DIM. loro totale limitatezza. COMPLETEZZA DIM. in completo: compatto se e solo se chiuso e tot. lim.. DIM. Rd e' completo, DIM. le funzioni limitate a valori in un completo sono un completo con la distanza uniforme. ESERCIZI LASCIATI: 1) total. limitato e' limitato, 2) limite unif. di funz. cont. e limitate in un completo e' continuo. DIM. BOLZANO WEIERSTRASS chiuso e limitato in Rd e' compatto. DIM. WEIERSTRASS Una funzione in R continua su un compatto assume su esso valore massimo e minimo. Caratterizzazione sequenziale delle continue, caratterizzazione con preimmagini delle continue. Composizione di continue e' continua. Allego una lunga lista di esercizi, mi scuso se vi fossero refusi. Rapido riferimento al libro di Acquistapace per quanto oggi svolto: http://www.dm.unipi.it/~acquistp/inge.html Anticipo pero' che questa volta vi e' qualche differenza rispetto a quanto svolto a lezione. Aperti e chiusi euclidei, Teoremi di Bolzan-Weierstrass(differente argomento dala quello di stamani a lezione con la successione di cubi di volta in volta dimezzati) e Weiestrass euclidei: 1 vol. cap. 3.1 pagg. 168-175 con esercizi Funzioni continue caso euclideo: 1 vol. cap 3.3 pag. 190, esercizi 9, 10 pag. 193, cap. 3.4 pag.195 Compattezza ( vi e' un'altra definizione e si dimostra equivalente a quella vista a lezione): 2 vol. cap 1.6 teo. 1.6., Weiestrass e' nell'esercizo 5 pag.44, mentre gli esercizi 3 pag. 43 e 4 pag. 44 mostrano che Bolzano Weiestrass non e' vero indimensione infinita, gli esercizi 9/10 pag. 45 iniziamp a spiegare la totale limitatezza vista a lezione. Convergenza uniforme 2 vol. cap. 1.1-1.2 pagg.4-10 (esercizi pagg.12-14), pag.15 teorema 1.2.1 e' quanto vi avevo lasciato da fare come esercizio a lezione Completezza 2 vol. cap.1.7 pag.45, a pag. 46 proposizione 1.7.4 caratterizza i compattio con i totalmenti limitati e completi (il teorema 1.7.5 e' parte di quella vista a lezione della completezza per la norma uniforme delle funzioni limitate) , a pag. 49 il teorema di densita' uniforme dei polinomi nello spazio delle funzioni continue su un intervallo. From tortorel@dm.unipi.it Wed Oct 22 21:51:48 2014 Date: Wed, 22 Oct 2014 22:08:55 +0200 (CEST) From: Vincenzo Tortorelli To: ingandu@mail.dm.unipi.it Subject: [Ingandu] 1- siete pregati di parecipare alle lezioni, abbiamo superato un primo scoglio di vocabolario un po astratto, ma ora si stanno introducendo le basi del calcolo differenziale in piu' variabili, e anche durante le lezioni, come e' successo oggi, sara' necessario esaminare semplici esempi controesempi ed esercizi. 2- ancora di piu' consiglio fortemente di organizzarsi per venire a ricevimento (come gia' comunicato il mercoledi al polo alle 16,30 abbiamo un' auletta, e poi su appuntamento): da esperienza personale ho rilevato che c'e una forte correlazione diretta tra la percentuale degli studenti di una classe che `passano' l'esame in tempi ragionevoli e' quella degli studenti che `partecipano' al corso interagendo con i docenti durante i ricevimenti che dovrebbero essere unpo il cuore del corso perche' dovreste esser voi a porre domande e a parlare: noi lo facciamo durante l'anno a lezione e agli esami. 3- domani saremo di meno: non me la sento di andare avanti nel programma, mancando meta' degli studenti. Non me la sento nemmeno di saltare la lezione. Quindi saranno due ore in cui esamineremo esercizi su quanto visto finora, cercando di separar quelli di base (diciamo `facili') da quelli piu' impegnativi o astratti. Quindi quanto svolto oggi e' stato: 13. Mer 22/10/2014 14:30-16:30 (2:0 h) lezione: RICHIAMI: R1 correzione: la norma dell'estremo superiore si dice norma uniforme non Loo. R2 Le seminorme integrali DIM. sono norme sulle funzioni continue. R3 R4 DIM. distanze da un punto e prodotti scalari sono continui.PENDENZA LIMITATA: Lipschitzianita'. R5 DIM. nei prehilbert la norma e' il massimo di prodotti scalari sulla palla unitaria, DIM.diseguaglianza triangolare in norma per integrali di funzioni vettoriali di una variabile. GENERAZIONE DI FUNZIONI CONTINUE VETTORIALI DI PIU' VARIABILI: composizione, DIM. riduzione al caso scalare, DIM. lineari->lipschitziane: funzioni coordinate, DIM. bilineari: prodotti di coordinate. APPROSSIMAZIONE LOCALE DI FUNZIONI DI PIU' VARIABILI: dalla derivata alla definizione generale di differenziabilita'. Derivate parziali esempi, geometria e definizione. (Vincenzo Maria Tortorelli) From tortorel@dm.unipi.it Thu Oct 23 11:35:02 2014 Date: Thu, 23 Oct 2014 11:52:15 +0200 (CEST) From: Vincenzo Tortorelli To: ingandu@mail.dm.unipi.it Subject: [Ingandu] stamani Stamani abbiamo fatto esercizi molto di base sulla convergenza di funzioni: Gio 23/10/2014 08:30-10:30 (2:0 h) esercitazione: ESERCITAZIONE SUPPLEMENTARE CON CLASSE RIDOTTA PER USCITA SAIE STUDENTI CURRICULUM EDILE: esercizi molto di base su convergenza puntuale, uniforme, in norma integrale e quadratica: f_n(x)= 1 x tra n e n+1, 0 altrimenti; f_n(x) = n x tra 0 e 1/(n al quadrato); f_n(x)= x^n x tra 0 e 1; f_n(x) = min{ 1/(radice di x) , n}. Vari implicazioni tra le diverse convergenze e controesempi. Applicazione della di seguaglianza di Cauchy-Schwartz per mostrare che f_n--> f in semi-norma integrale quadratica su un intervallo limitato allora f_n--> f in semi-norma integrale. (Vincenzo Maria Tortorelli) From tortorel@dm.unipi.it Fri Oct 24 20:04:58 2014 Date: Fri, 24 Oct 2014 20:22:24 +0200 (CEST) From: Vincenzo Tortorelli To: ingandu@mail.dm.unipi.it Subject: [Ingandu] argomenti oggi e riferimenti Dunque oggi si sono analizzate le nozioni introdotte nella seconda parte della lezione di mercoledi: Ven 24/10/2014 11:30-12:30 (1:0 h) lezione: APPROSSIMAZIONE LINEARE.DIFFERENZIABILITA' IN UN PUNTO:per definizione l'errore di approssimazione degli incrementi della funzione con una funzione lineare degli spostamenti nel dominio non solo e' infinitesima rispetto a questi ma e' indipendente dalla direzione. Teo. 1 DIMOSTRAZIONE Se f:Rd->Rm e' differenziabile in un punto allora ha le derivate parziali in quel punto, e nelle coordinate usuali di Rd e Rm, la matrice associata all'applicazione lineare differenziale nel punto, e' quella che ha come colonne le derivate parziali della funzione nel punto: matrice Jacobiana. Matrice dei gradienti: la trasposta della Jacobiana. Teo. 2 DIM. Se f e' differenziabile in p allora e' continua in p. Teo. 3 F e' differenziabile se solo se lo e' per componenti. Controesempio (il solito) funzione con derivate parziali in un punto e non differenziabile. Teo. 4 Enunciato teorema differenziale totale. COMPITO A CASA studiar la dimostrazione, per discuterne insieme. Per i riferimenti al libro di Acquistapace in rete che riguardano gli argomenti trattati nelle due ultime lezioni: Integrali di funzioni a valori in Rm: 1 Vol. cap. 5.5 pagg. 323 definizione e diseguaglianza triangolare. Generazione di funzioni continue: 1 Vol. cap.3.2 esem. 3.2.5 pag. 179 le affini sono Lipschitziane, esem. 3.2.6 pag.181 controesempio separata continuita', esercizi 3.2.1 pag.181 (composizione di continue), 3.2.5 pag 182 (prodotto), 3.2.8 pag.182 (componenti). Differenziabilita' e derivate parziali: 1 Vol. cap 4.2 derivate parziali ed esempi pagg.221-222, differenziabilita' e Teoremi 1 e 2 dimostrati a lezione proposizione 4.2.5, punti ii) ed i) rispettivamente, pagg. 222-223. Piano tangente definizione 4.2.8 pag. 224. Il Teorema 4 enunciato a lezione e' il teorema del differenziale totale 1 Vol. cap. 4.4 pagg.238-239. Il teorema 3 enunciato a lezione, cioe' la differenziabilita' delle funzioni vettoriali, e' dimostrato implicitamente nell'enunciato, e nella sesta riga della dimostrazione, del teorema 4.5.2 a pag. 242 sempre nel Volume 1. Bene mi sembra ci sia tutto vedete un po la dimostrazione del teorema del differenziale totale che sara' l'inizio della prossima lezione. From tortorel@dm.unipi.it Wed Oct 29 21:36:38 2014 Date: Wed, 29 Oct 2014 21:36:38 +0100 (CET) From: Vincenzo Tortorelli To: ingandu@mail.dm.unipi.it Argomenti di oggi: Mer 29/10/2014 14:30-16:30 (2:0 h) lezione: DIMOSTRAZIONE Teorema del differenziale totale (Teo.4). DIM. Lemma della trasformazione lineare di un `o'. Derivate direzionali e differenziale (Teo. 5). Differenziale della somma e del prodotto: lo spazio vettoriale C1(Omega, Rm) (Teo.6). Controesempio: funzione continua e con tutte le derivate direzionali nulle in un punto ma non differenziabile nel punto. DIM. diseguaglianza del valor medio integrale per funzioni vettoriali C1 (Teo 7). Iperpiano tangente al grafico come traslato del grafico della funzione lineare data dal differenziale:vettore normale al grafico, base della giacitura del tangente al grafico tramite i vettore della base canonica sul dominio e le rispettive derivate parziali (Teo. 8). (Vincenzo Maria Tortorelli) Riferimenti al libro di Paolo Acquistapace: 1 Vol. cap. 4.2 piano tangente pag. 224, derivate direzionali pag. 224-226, esercizi pagg.228-230. 1 Vol. cap. 4.4 Teorema del differenziale totale pagg. 238-239, esercizi pagg. 239-240. Per un richiamo agli integrali vettoriali e alla diseguaglianza triangolare negli integrali (da cui abbiamo ricavato la diseguaglianza integrale del vaolr medio) 1 Vol. cap. 5.5 pag.323. From tortorel@dm.unipi.it Thu Oct 30 12:11:10 2014 Date: Thu, 30 Oct 2014 13:29:32 +0100 (CET) From: Vincenzo Tortorelli To: ingandu@mail.dm.unipi.it Subject: [Ingandu] avviso di massima e argomenti di oggi - nella pausa esami tra il primo e il secondo semestre come richiesto da alcuni di voi vi sara' la prova in itinere fiscale. - subito prima delle vacanze di Natale cercheremo di organizzare una simulazione in classe di prova in itinere. -quest'anno essendo la prima volta che si tiene questo corso non possono esserci esercizi da esame con soluzioni. L'idea e' che tra i libro di Acquistapace, i fogli di esercizi, e gli esercizi proposti a lezione ed esercitazione abbiate diversi temi su cui cimentarvi. Quindi per le soluzioni venite a ricevimento. Oggi in sostanza abbiamo fatto esercitazione con un ampio richiamo alle notazioni per il piano tangente ad un grafico, ieri introdotte, e un assaggio riguardante la differenziabilita' di funzioni composte: Gio 30/10/2014 08:30-09:30 (1:0 h) esercitazione: - Iperpiano tangente al grafico come traslato del grafico della funzione lineare data dal differenziale:vettore normale al grafico, e base della giacitura del tangente al grafico tramite i vettore della base canonica sul dominio e le rispettive derivate parziali. - Angolo (coseno dell'angolo) tra i sostegni di due curve in un punto di incidenza. Angolo tra due iperpiani come angolo tra i vettori normali. Angolo tra due grafici in un punto di incidenza come angolo tra gli iperpiani tangenti. -Dati due cilindri circolari retti di raggio unitario con assi inciedenti e perpendicolari trovare l'angolo nei punti di intersezione delle due superfici. (Vincenzo Maria Tortorelli) Gio 30/10/2014 09:30-10:30 (1:0 h) esercitazione: In compresenza con la dottoressa Laura Cremaschi: esercizio sulla differenziabilita' di f(x,y)=1+ ((x-1) y^2)^(1/3}: vari modi per calcolare le derivate parziali, uso del teorema del differenziale totale, non esistenza derivate parziali comporta non differenziabilita', dipendenza non lineare delle derivate direzionali in un punto dalle derivate parziali nello stesso comporta non differenziabilita. Derivate direzionali come derivate di funzioni composte, derivata della composizione con una curva regolare nel caso di differenziabilita'= derivata direzionale rispetto al vettore velocita'. (Vincenzo Maria Tortorelli) From tortorel@dm.unipi.it Fri Oct 31 17:24:21 2014 Date: Fri, 31 Oct 2014 18:42:54 +0100 (CET) From: Vincenzo Tortorelli To: ingandu@mail.dm.unipi.it Subject: [Ingandu] argomenti di oggi Ven 31/10/2014 11:30-12:30 (1:0 h) lezione: Grafico f:A->Rm, A in R= immagine di g:A->R(m+d), g(x)=(x, f(x))=insieme di livello di F:AxRm->Rm, F(x,z)= f(x)-z. f differenziabile in p: il tangente al grafico in P=(p,f(p)) e': 1- graf.della funz. lineare d_pf x traslato in P; 2- immagine della funz.lin. (x,d_pf x)=d_p (y,f(y)) x tras. in P; 3- nucleo della funz. lin. d_pfx - z= d_(p,v)(f(y)-v)(x,z) tras. in P. SLOGAN:1 tangente a grafico e' grafico traslato del differenziale, 2 tan. a immagine e' l'immagine tras. del diff., 3 tan. a luogo di zeri e' il nucleo tras. del diff.. DOMANDE: A)L'immagine di g:A->Rh vicino a p in A e' grafico di f: Rd->R(h-d)? E' vero 2? permette di non calcolare f per trovare il tangente. B)L'insieme di livello di F:Rh->Rm vicino a p e' grafico di una f:R(h-m)->Rm? E' vero 3? DIM. derivata f(c(t)), t in R. DIM. Teo.9 grad f(p) non nullo direzione di massima pendenza in p, sua norma massima pendenza, ortogonale alle curve per p a valori in {f(x)=f(p)}. (Vincenzo Maria Tortorelli) Riferimenti libro Acquistapace: Derivabilita' della composizione con curve: 1 Vol. cap.4.5 pag.241 (non usa il lemma che immagine lineare di un `o' e' un `o' la dimostrazione e' un pochino piu' lunga di quella vista a lezione). Gradiente come direzione di massima pendenza e ortogonalita' alle curve con valori nell'insime di livello: 1 Vol. cap.4.2 pagg.226-227. ATTENZIONE, ATTENZIONE: la trattazione fatta nel libro dell'ortogonalita' alle pagg.227-228 e' molto piu' difficile di quella esposta a lezione: qui dimostra gia' che l'insieme di livello ha un piano tangente. Invece a lezione abbiamo semplicemente detto che se una curva c(t) e' a valori nell'insieme di livello {x: f(x)=f(p)} e c(0)= p allora grad f(p) e' ortogonale a c'(0), semplicemente derivando la relazione f(c(t))= f(p). immagini: 2 Vol. cap. 1.9 pag. 93 osservazione preliminare al teorema del rango pagg.95-96 osservazioni ed esempi. 2 Vol. cap. 4.9 pag. 451-453. luoghi di zeri: 2 Vol.cap.1.9 esempi ed osservazioni pagg.72-73 , pag.88, esempio 1.9.4 pag. 76, osservazioni preliminari al teorema di invertibilita' pag. 93. From tortorel@dm.unipi.it Wed Nov 5 21:46:21 2014 Date: Wed, 5 Nov 2014 23:05:44 +0100 (CET) From: Vincenzo Tortorelli To: ingandu@mail.dm.unipi.it Subject: [Ingandu] argomenti di oggi Mer 05/11/2014 14:30-15:30 (1:0 h) lezione: Derivate parziali successive, derivate direzionali successive, matrice H(Hessiana) delle derivate seconde. DIM: se la funzione e' differenziabile e lo sono anche le sue derivate parziali prime allora la derivata direzionale seconda nelle direzioni w e v e' data da vHw. Esercizio lasciato: esprimere (f(c(t))'' in termini delle derivate di f e di c''(t). Regola di Leibniz della catena nel caso generale: analogia con la derivata di funzione composta: composizione dei differenziali (prodotto righe per colonne delle matrici Jacobiane) DIM. usando il lemma degli ``o''. DIM. Regola di Leibniz per le derivate parziali. DIM. Differenziale dell'inversa. Cambiamenti di coordinate: per punti, per vettori e per covettori. Generazione di funzioni differenziabili: composizione, spazio vettoriale, il differenziale delle lineari e' costante, dxi come differenziale della proiezione i-esima, differenziale dei prodotti di coordinate. Il differenziale della norma e della norma al quadrato. (Vincenzo Maria Tortorelli) Mer 05/11/2014 15:30-16:30 (1:0 h) esercitazione: Esercizi di calcolo di derivate parziali successive. Accortezza empirica: se vi sono variabili rispetto a cui non si deriva, preliminarmente a queste si sostituiscono i valori delle coordinate del punto ove si vogliono calcolar le derivate e quindi si deriva. Quando ``non ci si accorge di usare'' la regola della catena: calcolo diretto delle derivate delle funzione sin (xy) rispetto alle variabili polari. Verifica che usando la regola viene lo stesso. Quando la complessita' della regiola della catena viene fuori comunque: (impostazione dell'esercizio 11 del terzo foglio) se G(r, a)= F(x,y), (x,y)=(r cos a, r sin a), esprimere la derivate di F rispetto a x con r, a, e le derivate rispetto a queste variabili. (Vincenzo Maria Tortorelli) Riferimento ai libri di Acquistapace: Regola della catena: 1 Vol. cap 4.5 pagg.241-244. Derivate successive: 1 Vol. cap. 4.6 pagg.244-246, esercizi pag.248. From tortorel@dm.unipi.it Thu Nov 6 14:18:58 2014 Date: Thu, 6 Nov 2014 15:38:28 +0100 (CET) From: Vincenzo Tortorelli To: ingandu@mail.dm.unipi.it Subject: [Ingandu] argomenti di oggi Gio 06/11/2014 08:30-09:30 (1:0 h) lezione: Derivate di funzioni lineari per componenti. Derivate e differenziali di ``prodotti'' composizione con funzioni multilineari: DIM. dB(f(x),g(x))[h,k] =B(df(x)[h], g(x)) +B(f(x), dg(x)[k]). Derivata del determinante di una matrice di funzioni di una variabile, derivate di prodotti vettoriali. Esercizio lasciato: trovare il differenziale del determinante usando la definizione di derivata direzionale. Enunciato teorema di Schwarz sul cambio di ordine di derivazione in ipotesi di continuita' e controesempio. Definizone di chiusura di un insieme. Spazi vettoriali Ck, Dk, Ck forte della chiusura. Funzioni positivamente omogenee di grado a, insiemi stellati rispetto a un punto e coni: DIM. teorema di Eulero e derivata radiale (componente radiale del gradiente). Derivate radiali e tangenziali:gradiente in altra base ortonomale (variabile da punto a punto) con derivate direzionali. Ese. sin (x^2+y^2+z^2) derivata radiale e ortogonalita'ai livelli. (Vincenzo Maria Tortorelli) Gio 06/11/2014 09:30-10:30 (1:0 h) lezione: Dalla lezione del 31-10: SLOGANs: 2) tangente a immagine e' immagine del diff. 3) tangente a luogo di zeri e' nucleo del diff.DOMANDE A)l'immagine di g:Rd->Rm vicino a p e' grafico di f:Rd->R(m-d), e' vero 2)? B)il luogo di zeri di F:Rd->Rm vicino a p e' grafico di f:R(d-m)->Rm, vero 3)? SCHEMA TEO.1.1-2-3(Dini m< d f:Rd->Rm) se f C1 e grad f ha rango massimo: B) vero. TEO.2(Rango m>d f:Rd->Rm)se f C1 e diff f ha rango massimo: A) vero, base tangente=derivate parziali. TEO.3(Invertibilita' locale f:Rd->Rd) f C1 diff f rango max in p: una restrizone di f ad un intorno di p e' iniettiva con f(p) interno alla sua immagine. (Vincenzo Maria Tortorelli) Riferimenti libro Acquistapace: Per la definizione di chiusura 2 vol. def.1.5.10 pag. 36. Per la componente radiale del gradiente si esaminino 1 vol. cap 4.5 esempi 4.5.3 pagg. 243-244. Teorema di Eulero sulle funzioni omogenee: 1 vol. cap. 4.5 esercizio 3 pag. 239. Per il teorema di Schwarz e gli spazi di funzioni: 1 vol. cap 4.6 pagg.245-246, e l'esercizio 5 pag.248 Per il differenziale di una forma quadratica in componenti pag.278 (a lezione si e' visto di piu'). Per quanto riguarda i teoremi del Dini del rango e di invertibilita' locale di cui abbiamo introdotto il significato degli enunciati conviene anticipare lo studio di tali enunciati prima dell'esposizione a lezione. Mi riferisco quindi al testo specificando le pagine da prendere in esame: 2 Vol. cap. 1.9 enunciato teorema del Dini reale ed osservazioni pagg.72-73-74, esempio 1.9.4 pagg. 77-78; enunciato teorema del Dini vettoriale pag.84-85 osservazione 1.9.7 pag. 87-88; enunciato teorema di invertibilita' locale ed esempi pagg.88-89-90-91-92, osservazione 1.9.2.11 pag. 92-93; enunciato teorema del rango pag. 93-94 (l'inizio della dimostrazione chiarisce l'interpretazione dell'enunciato) osservazione 1.9.13 pag.95 ATTENZIONE VA CORRETTA c'e' un refuso: con `localmente' si intende localmente nel dominio non nel codominio; esempi pag.95-96. Esercizi pagg. 96-97-98-99. From tortorel@dm.unipi.it Mon Nov 10 22:56:34 2014 Date: Tue, 11 Nov 2014 00:16:46 +0100 (CET) From: Vincenzo Tortorelli To: ingandu@mail.dm.unipi.it Subject: [Ingandu] esercitazione di venerdi Ven 07/11/2014 11:30-12:30 (1:0 h) esercitazione: In compresenza con la dottoressa Laura Cremaschi: prodotto scalare tra matrici quadrate come elementi di Rnxn, il differenziale ed il gradiente del determinante mediante derivate direzionali e mediante la regola per derivare ``prodotti'' -cioe' funzioni multilineari quale e' il determinante-, matrice dei cofattori; definizione di frontiera di un sottoinsieme di uno spazio metrico; procedura per affrontare lo studio dei punti di massimo e minimo di una funzioni di piu' variabili: punti ove non e' differenziabile, punti ove il differenziale e' nullo, comportamento sulla frontiera e ``all'infinito''; studio di massimi e minimi di una funzione di due variabili mediante l'analisi delle linee di livello, limiti all'infinito, metodo di quadratura per riconoscere coniche e altre accortezze elementari. From tortorel@dm.unipi.it Wed Nov 12 18:47:44 2014 Date: Wed, 12 Nov 2014 20:08:14 +0100 (CET) From: Vincenzo Tortorelli To: ingandu@mail.dm.unipi.it Subject: [Ingandu] argomenti di oggi Mer 12/11/2014 14:30-16:30 (2:0 h) lezione: Teorema dal Dini in due variabile per funzioni a valori reali enunciato: DIM. formula per la derivata della funzione impilicita e per il piano tangente; esempio equazione retta tangente in (2,1) a f(x,y)= x^y+y^x -3=0. Teorema del Dini in piu' di due variabili per funzioni reali, enunciato rispetto ad una qualsiasi variabile e fromule relative: esempio iperpiano tangente 5-dim in (0,0,0,0,0,0) a f(a,b,c,d,e,f)=0 per f= b exp(a+e) +a^2 + ae +df^3 +log (1 +b^2 +f^4). Regola di Cramer per matrici. Notazione alla Leibniz per i minori dello Jacobiano come differenziali di restrizioni. Teorema del Dini in piu' variabili per funzioni vettoriali da Rd in Rm, m minore d: formula del piano tangente e delle derivate delle ultime m variabili rispetto alle prime d-m variabili quando il minore dello Jacobiano rispetto alle ultime m e' invertibile. (Vincenzo Maria Tortorelli) Per quanto riguarda i teoremi del Dini, come riferimento al libro di Acquistapace, ripeto quanto gia' indicato la scorsa settimana. Mi riferisco quindi al testo specificando le pagine da prendere in esame: 2 Vol. cap. 1.9 enunciato teorema del Dini reale ed osservazioni pagg.72-73-74, esempio 1.9.4 pagg. 77-78; enunciato teorema del Dini vettoriale pag.84-85 osservazione 1.9.7 pag. 87-88, enunciato teorema di invertibilita' locale ed esempi pagg.88-89-90-91-92, osservazione 1.9.2.11 pag. 92-93; Esercizi pagg. 96-97-98-99. From tortorel@dm.unipi.it Thu Nov 13 12:32:42 2014 Date: Thu, 13 Nov 2014 12:32:42 +0100 (CET) From: Vincenzo Tortorelli To: ingandu@mail.dm.unipi.it Subject: ARGOMENTI DI OGGI Gio 13/11/2014 08:30-09:30 (1:0 h) lezione: Teorema del Dini 1.3 vettoriale rispetto a un qualsiasi gruppo di variabili, notazione x-sigma e x-tau, formula derivate funzioni implicite. Modo d'intendere l'enunciato: l'insieme Z delle soluzioni di un sistema f(x)=c non lineare, d-incognite x1...xd, m equazioni f1=c1, ...fm=cm, m minore d, vicino a un punto p per cui f(p)=c, rango df(p) e' massimo =m, ha d-m gradi di liberta' anzi e' grafico di una funzione di d-m variabili a valori in Rd e quindi si calcolano le derivate delle m variabili dipendenti rispetto alle d-m indipendenti. Quindi il piano tangente in p a Z e' dato dalle soluzioni del sistema lineare non omogeneo df(p)x= df(p)p con m equazioni e d incognite. Derivate successive delle funzioni implicite. Esercizio trovare il piano tangente in (0,1,1) all'insieme delle soluzioni del sistema xyz=0, x^2+y^2+z^2 =2, trovare le derivate prime e le derivate seconde delle variabili dipendenti nel punto. (Vincenzo Maria Tortorelli) Gio 13/11/2014 09:30-10:30 (1:0 h) esercitazione: In compresenza con la dottoressa Laura Cremaschi: studio dei valori di massimo e minimo della funzione x/(1 + x^2+y^2) con il calcolo differenziale. Esercizio lasciato: studiare lo stesso problema con il massimo dei massimi delle restrizioni e il minimo dei minimi delle restrizioni a rette parallele agli assi. Studiare i punti e i valori di massimo e minimo assoluto della funzione x^4+y^4+z^4 -(x-y-z)^2 +1. Condizioni sufficienti sul segno stretto degli autovalori della matrice Hessiana simmetrica calcolata in un punto stazionario, per la natura del punto stazionario. Criterio della variazione del segno dei minori per avere il segno degli autovalori di una matrice simmetrica. (Vincenzo Maria Tortorelli) From tortorel@dm.unipi.it Fri Nov 14 13:28:09 2014 Date: Fri, 14 Nov 2014 14:48:56 +0100 (CET) From: Vincenzo Tortorelli To: ingandu@mail.dm.unipi.it Subject: [Ingandu] (senza oggetto) Oltre ad un cennio a quanto svolto stamani allego un quarto fogli di esercizi sugli argomenti che verranno svolti dalla prossima settimana. Ven 14/11/2014 11:30-12:30 (1:0 h) lezione: Teo. di invertib. loc., formule derivate dell'inversa. Interpretazione:f(x) =(f1(x1,..,xd), f2(x1...xd), ... fd(x1 ...xd)) funzione C1 da Rd in Rd, il sistema f(x)=c ha p soluzione f(p)= c per cui il sistema lineare df(p) x= 0 ha un'unica soluzione allora per z ``vicino a c'', il sistema f(x)=z ha ``vicino a p'' un'unica soluzione x(z) regolare quanto f. Domanda: l'immagine di una funzione ``vicino a un suo valore '' e' un grafico? (cos (t^3+1), sin (t^3+1)), (x,y,x^2+y^2), (t^2,t^3). Teo.rango: d minore m,f da Rd a Rm, df(p) di rango massimo: esiste B intorno di p f(B) e' un grafico e il tangente a f(B) in f(p) e' il traslato in f(p) dell'immagine di df(p), base e' data della derivate parziali in p di f. f(t)= (t^2, t^3)= (g(t), k(t)) qui d=1, m =2 mostra la linea dimostrativa: nuova variabile u=k(t) invertibile:un punto dell'immagine e' del tipo (g(k^{-1}(u), u). Grafico di curva che all'infinito torna su di se. Riferimento al libro di Acquistapace: 1 vol. cap 1.9: enunciato teorema di invertibilita' locale ed esempi pagg.88-89-90-91-92-93, osservazione 1.9.2.11 pag. 92-93; enunciato teorema del rango pag. 93-94 (l'inizio della dimostrazione chiarisce l'interpretazione dell'enunciato, l'esempio dato a lezione f(t)=(t^2, t^3) l'ultimo ``gruppo di variabili t^3'' e' una funzione invertibile t^3=u ); esempi pag.95-96. Esercizi pagg. 96-97-98-99. From tortorel@dm.unipi.it Wed Nov 19 19:21:47 2014 Date: Wed, 19 Nov 2014 20:43:24 +0100 (CET) From: Vincenzo Tortorelli To: ingandu@mail.dm.unipi.it Subject: [Ingandu] argomenti e riferimenti Mer 19/11/2014 14:30-16:30 (2:0 h) lezione: Connessi per archi. Immagini continue di connessi per archi. Esercizio: connettere (2/3,2/3) con (-radquad 3/4, -1/4) in x^2+y^2minore o uguale 1 e (x-1/2)^2+y^2 maggiore 1/4. Definizione d-varieta' in Rm di classe Ck come luogo di zeri locale di funzioni con differenziale di rango massimo. Definizione equivalente: localmente immagine di funzioni bigettive con differenziale di rango massimo. Parametrizzazioni locali, carte locali, coordinate locali. Atlanti. Esempio sfera con (radquad(1-u^2-v^2), u, v) con u^2+v^2<1. Spazi tangenti e normali. Definizione di d-superficie regolare con parametrizzazione globale (``infedele''). Esempio: le curve regolari non e' detto siano 1-varieta' regolari (cos t, cos t sin t) con 0< t< 3/2 pi. d-varieta' con bordo, esempio: semisfera con diametro massimo. Inizio esposizione del concetto di orientabilita' di una 2-varieta' in R3. Riferimenti al libro di Acquistapace ripasso curve: 2 Vol. pagg. 372-420. supeficie parametriche globali: 2 Vol. pagg. 451-455. d-varieta' con e senza bordo: 2 Vol. il caso dei bordi regolari di aperti pagg. 436-441, definizione generale pagg. 508-513. Extra per chi e' interessato: alle pagg. 485-508 del Vol.2 e' meticolosamente esposta la teoria locale delle superficie nello spazio sino ad arrivare alla dimsotrazione di teorema Egregium di Gauss e alle formule per le curvature sezionali. Risultati che sono usati a Topografia ma ... nel nostro corso ... come scherza il poeta ... `hassi a rifar ma il tempo manca'. From tortorel@dm.unipi.it Fri Nov 21 00:46:02 2014 Date: Fri, 21 Nov 2014 02:07:51 +0100 (CET) From: Vincenzo Tortorelli To: ingandu@mail.dm.unipi.it Subject: [Ingandu] argomenti stamani Gio 20/11/2014 08:30-10:30 (2:0 h) lezione: Cambi parametriz.(carte) locali, mappa transizione P, dP come camb. di coor. lineare sul tangente. 2-varieta' in R3: relazione tra i prodotti vettoriali delle basi indotte da due parametr.. Nastro di Moebius. Orientabilita' d-var. in Rm: v'e' Atlante con det. Jac. delle mappe di tran. positivi. Teo.1 2-varieta' S in R3 e' orien. sse. v'e' un N da S nella sfera continuo. Teo.2 Frontiera di aperto regolare e' orien. Criterio 1:luogo di zeri glob.ipotesi Dini: orien.Normale indotta dalla para. globale ``infedele ''di una 2-superficie continua nei parametri ma non sul sostengo. Crit.2 2-varieta' in R3 con Atlante a due carte e intersezione delle immagini connessa e' orien. Orien. indotta sul bordo: param. loc. di rango mass. iniettive fino a un pezzo della frontiera della carta, basi del tangente:derivate direzionali, der. dir. nel tangente `esterne', vettore tangente normale esterno.Teo.3 2-varieta' senza bordo in R3 e' orient. Inizio parametrizz. Moebius. Oltre a dare i riferimenti del libro di Paolo allego una breve nota su quanto illustrato stamattina a lezione che un po si discosta dalla trattazione del libro. orientazione superficie 2 Vol. pagg. 458-460 e' il minimo ma ci sono due begli esempi orientazione di una varieta' 2 Vol. pagg. 546-553 e' il massimo ma il linguaggio e i concetti ustai sono al di fuori della portata del corso. a lezione ho cercato di mediare. From tortorel@dm.unipi.it Fri Nov 21 13:14:43 2014 Date: Fri, 21 Nov 2014 14:36:39 +0100 (CET) From: Vincenzo Tortorelli To: ingandu@mail.dm.unipi.it Subject: [Ingandu] stamani Ven 21/11/2014 11:30-12:30 (1:0 h) esercitazione: Parametrizzazione locale del nastro di Moebius. Parametrizzazione sfasata. Mappa di transizione e suo determinante Jacobiano. From tortorel@dm.unipi.it Thu Nov 27 16:45:09 2014 Date: Thu, 27 Nov 2014 18:08:03 +0100 (CET) From: Vincenzo Tortorelli To: ingandu@mail.dm.unipi.it Subject: [Ingandu] oggi Vi allego una pagina di appunti sulle relazioni tra le notazioni con le derivate direzionali e le notazioni con i multi-indici. Gio 27/11/2014 08:30-10:30 (2:0 h) lezione: Polinomi di Taylor in piu' variabili. Parte teorica: notazione con multindici e notazione con derivate direzionali o derivazioni. Relazione tra le notazioni. Relazione con l'Hessiano. Uso della parte teorica: approssimazione di funzioni definite implicitamente (soluzioni di equazioni differenziali, funzioni implicite etc. etc. ).Parte pratica/teorica: unicita'. Dimostrazione per i polinomi di secondo grado e terzo grado in due variabili. Esercizi: ridursi a polinomi di Taylor noti in una variabile con sostituzione ed unicita'. Polinomio di taylor centrato in (0,0) di grado 7 di sin xy; polinomio di Tyalor di grado 4 in (0, 1) per y exp xy. Calcolo delle derivate parziali in un punto con polinomi di Taylor noti. (Vincenzo Maria Tortorelli) Oltre agli appunti: Libro Acquistapace 1 Vol. cap. 4.8 pagg. 263-268 (compresi esercizi) From tortorel@dm.unipi.it Fri Nov 28 16:25:22 2014 Date: Fri, 28 Nov 2014 16:25:22 +0100 (CET) From: Vincenzo Tortorelli To: ingandu@mail.dm.unipi.it Subject: oggi e appunatmenti 1) oggi Ven 28/11/2014 11:30-12:30 (1:0 h) esercitazione: In compresenza con la dottoressa Laura Cremaschi: laplaciano in coordinate polari; significato delle derivate rispetto ad altre due variabili curvilinee: derivata direzionale rispetto al tangente della curva ove l'altra nuova variabile e' costante. Uso del teorema di Weiestrass: verifiche di continuita' e compattezza. Massimi e minimi di x + x^2y/(x^2+4y^2) nel primo e terzo quadrante. Proposto: massimi e minimimi di x^2+y^2 -(x+y) per |x| e |y| minori eguali ad 1. (Vincenzo Maria Tortorelli) Potete iniziare a fare esercizi a riguardo sul libro di Acquistapace 1 Vol. cap. 4.11 pag. 285 osservazione 4.11.4 esempio 4.11.5, esercizi pagg.286-287 Per esercizi sul polinomio di Taylor oltre a quanto visto a lezione ripeto il riferimento specifico: 1 Vol. cap.4.8 pagg.2676-268, e sulle note di Massimo Gobbino in rete From tortorel@dm.unipi.it Thu Dec 4 15:20:24 2014 Date: Thu, 4 Dec 2014 15:20:24 +0100 (CET) From: Vincenzo Tortorelli To: ingandu@mail.dm.unipi.it Subject: avvisi, argomenti ieri ed oggi IERI: Mer 03/12/2014 14:30-16:30 (2:0 h) lezione: Ripasso: estermo sup. ed inf.: valori estremali versus valori di massimo e minimo. Punti di valore estremale relativo. Varianti di Weiestrass esistenza di punti di valore mas.e min. assoluto (condizioni sufficienti): domini chiusi non limitati: DIM. per avere un punto di minimo basta che fuori da una palla i valori della funzione sian piu' grandi di almeno un suo valore (e.g.f(x)-> +oo se |x|->+oo ). Domini non chiusi e non limitati, simile: avvicinandosi alla frontiera piuttosto che all'infinito. DIM. Condizioni necessarie sulle derivate: punti critici interni, frontiera derivate direzionali esterne di segno predeterminato, matrice Hessiana semidefinita. Cond. suff. con le derivate, DIM.: 1- punto critico ed Hessiana srtettamente definita nel punto, 2- punto critico ed Hessiana semidefinita nell'intorno. Strategia estremali assoluti 1.1 punti non diff., 1.2 punti critici, 1.3 frontiera 2 confronto valori. Estremali relativi interni 1.1 non diff. 1.2 critic. 2 Hessiano. (Vincenzo Maria Tortorelli) Riferimento libro P.Acquistapace: Ripasso teorema di Weiestrass e varianti: 1 Vol. cap. 3.4 pagg.195-196. NOTA: si ricordino le varianti al teorema di Weiestrass come condizioni sufficenti per l'esistenza di punti di valore massimo o minimo. Ripasso forme quadratiche ed esercizi: 1 Vol. cap. 4.10 pagg.278-282 Condizioni necessarie e condizionisufficienti con le derivate ed esercizi: 1 Vol. cap. 4.11 pagg. 282-287 NOTA: 1- per le condizioni necessarie sulle derivate prime per punti interni a lezione si e' fatto a meno della differenziabilita' e si e' usata solo l'esistenza di una derivata direzionale. 2- le condizioni necessarie sulle derivate prime per punti di frontiera regolari son state fatte a lezione ma non risultano sul libro. 3- per le condizioni sufficienti a lezione si e' detto in piu' che se grad f(p)= 0 e vi e' U intorno di p per cui Hessf(x) semidefinito per x in U allora p e' punto di valore estremo relativo. STAMANI 36. Gio 04/12/2014 08:30-09:30 (1:0 h) esercitazione: Massimi e minimi assoluti di f(x,y,z)= x^2-y^4+2z su [-1,1]x[-2,1]x[0,1], (Gobbino):mancanza di punti cirtici, studio alla frontiera parametrizzata a pezzi, frontiera dei pezzi di frontiera, fino a ridursi a funzioni di una variabile. Esercizio 4 foglio n.4: f(x,y)= 2x^4 -x^2exp y +exp(4y). Punti critici, loro natura (Hessiano). Punto critico del ``passo di montagna'' ``all'infinito''. Estremo superiore, estremo inferiore (minorazione usando il metodo di quadratura). Non vi e' minimo assoluto. Esercizio per esemplificare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange: studiare i valori di massimo e minimo di x^2+y^2 per xy=1, soluzione grafica, interpretazione con formule: gradienti paralleli. (Vincenzo Maria Tortorelli) 37. Gio 04/12/2014 09:30-10:30 (1:0 h) lezione: Moltiplicatori di Lagrange:per studiare un problema di massimo o minimo su un pezzo di frontiera o di varieta', come luogo di zeri, se non e' comodo trovar parametrizzazioni locali (non si puo' usare composizione e riduzione delle variabili). Teorema (cond. necessaria) Se p e' un punto di mass. o min. relativo di f interno a V={x: g(x)=0}, f C1 def. in un aperto di R^d contenente V, g C1 a valori in R^{d-k} grad f(p) non 0, rango dg(p) massimo n-k allora esistono l1, l2 ...l(d-k) per cui grad f(p)= l1 grad g1(p) + l2 grad g2(p) + ... .DIM.per d=2, k=1. I punti di massimo o minimo relativo di f su V={g=0} si cercano tra 1.1.1 i punti di V ove f e g non sono diff., 1.1.2 i punti di V ove grad f =0 o rango dg non massimo 1.2 i punti di V soluzioni ``regolari'' del sistema di Lagrange 1.3 i punti di V che siano punti di bordo. Ese. lasciato:1) mass. e min. di x+y+z per xyz=1, 2) usare per mostrar che (x+y+z)/3 e' maggiore della radice cubica di xyz. (Vincenzo Maria Tortorelli) Moltiplicatori di Lagrange ed un sacco di esempi ed esercizi sull'argomento: 2 Vol. cap. 1.10 pagg.99-107 NOTA: 1- a lezione si e' usato come al solito d invece di N, e d-k invece di k. From tortorel@dm.unipi.it Fri Dec 5 17:12:06 2014 Date: Fri, 5 Dec 2014 18:12:00 +0100 (CET) From: Vincenzo Tortorelli To: ingandu@mail.dm.unipi.it Subject: [Ingandu] stamani Esercitazione 5/12/2014 In compresenza con la dottoressa Laura Cremaschi: esercizio sui moltiplicatori di Lagrange (polinomio di quarto grado in due variabili sul quadrato di centro l'origine e lato 2). Osservazione: sulla risoluzione dell'esercizio svolto il 4/12/2014. Osservazione: data f definita e regolare sulla chiusura di una aperto D. Un punto p di frontiera, regolare in un intorno U di p, che sia di minimo relativo di f ristretta alla frontiera, se il gradiente della f punta all'interno di D, allora p e' di minimo relativo per tutto il dominio: si segue il flusso gradiente in un intorno c'(t) =grad f(c(t)) c(0)=u in U. Si ha che f(c(t)) e' crescente avendo come derivata |grad f(c(t))|^2 stettamente positivo. From tortorel@dm.unipi.it Wed Dec 10 21:34:42 2014 Date: Wed, 10 Dec 2014 22:34:35 +0100 (CET) From: Vincenzo Tortorelli To: ingandu@mail.dm.unipi.it Subject: [Ingandu] comunicazione e ieri e oggi COMUNICAZIONE Paolo Acquistapace, Laura Cremaschi ed io, considerando che gli studenti presenti a lezione debbano consolidare le basi sia di calcolo differenziale e quelle di geometria analitica, riteniamo opportuno che in queste ultime due settimana si facciano principalmente esercizi. Pertanto si fara' un minimo di teoria nuova. In particolare e gli integrali di piu' variabili saranno fatti nel secondo semestre. IERI Mar 09/12/2014 11:30-12:30 (1:0 h) lezione: LEZIONE RECUPERO VISITA SAIE. Ricapitolazione degli schemi per lo studio dei valori estremi e dei punti estermali di funzioni di piu' variabili. Frontiera. Gradiente tangenziale = proiezione ortogonale del gradiente in un punto della k-variata' sul k-spazio tangente ad essa nel punto. DIMOSTRAZIONE: due funzioni che conicidono su una varieta' hanno lo stesso gradiente tangenziale. Punti critici tangenziali = il gradiente e' ortogonale alla varieta'. Per varieta' date come luoghi di zeri locali nelle ipotesi del Dini punto critico tangenziale = combinazione lineare dei gradienti delle funzioni che danno il luogo di zeri.DIMOSTRAZIONE: moltiplicatori di Lagrange e Lagrangiana.Curve di massima pendenza (flussi -gradiente) criterio affinche' un minimo locale alla frontiera sia minimo locale nel dominio. (Vincenzo Maria Tortorelli) Mar 09/12/2014 12:30-13:30 (1:0 h) esercitazione: ESERCITAZIONE RECUPERO VISITA SAIE. Valori estermi di x+y+z nell'ottante positivo con xyz=1: esitenza del minimo con limiti all'infinito e al bordo +oo, unicita' del punto stazionario vincolato (Lagrange), valore minimo 3. Deduzione della diseguaglianza: x+y+z maggiore eguale a 3 radice cubica (xyz). ALtro metodo: riduzione a due variabili libere z=1/xy. Dimostrazione diseguaglianza tra media aritmetica e media geometrica. ESERCIZI LASCIATI: penultimo tema esercizio 6 del foglio 4 p.ti e val. di mas. e min. rel. per exp[-x^2+y -z^2] su x^2/4 +y^2+ 3z^2 minore eguale ad 1; ultimo tema (difficile se completo) ibidem eadem x^2+y^2+z^2 sul vincolo (z+1)^2 -y^2 -(x+3)^2=0, z^2+y^2-(x+1)^2=0 z maggiore di -3. (Vincenzo Maria Tortorelli) OGGI Mer 10/12/2014 14:30-15:30 (1:0 h) lezione: RIASSUNTO della lezione di recupero: gradiente tangenziale e significato geometrico dei moltiplicatori. RIASSUNTO uso dei moltiplicatori per dimostrare la diseguaglianza tra media aritmetica e media geometrica di n numeri non negativi (omessa l'esistenza del minimo nel riassunto). (Vincenzo Maria Tortorelli) Mer 10/12/2014 15:30-16:30 (1:0 h) esercitazione: RISOLUZIONE ESERCIZI LASCIATI: penultimo tema prima facciata esercizio 6 del foglio 4 p.ti e val. di mas. e min. rel. per exp[-x^2+y -z^2] su x^2/4 +y^2+ 3z^2 minore eguale ad 1: riconoscimento ellissoide; esistenza massimo e minmo assoluto; nessun punto critico interno; punti critici tangenziali alla frontiera: quelli di valore massimo e minimo sono necessariamente i punti di massimo e minimo assoluto su tutto il dominio. Per il rimanente lungo un asse la funzione cresce, nella direzione x/2=z e' di massimo relativo sulla frontiera. Ultimo tema (difficile se completo) ibidem eadem x^2+y^2+z^2 sul vincolo (z+1)^2 -y^2 -(x+3)^2=0, z^2+y^2-(x+1)^2=0 z maggiore di -3: riconoscimento dei due coni nello spazio e di iperboli e cerchi nel piano; regolarita' del vincolo ; ricerca dei punti critici tangenziali con Lagrange. Da finire: natura di tali punti critici. From tortorel@dm.unipi.it Thu Dec 18 01:11:17 2014 Date: Thu, 18 Dec 2014 02:11:10 +0100 (CET) From: Vincenzo Tortorelli To: ingandu@mail.dm.unipi.it Subject: [Ingandu] soluzioni e argomenti di ieri mattina Allego tutte le risoluzioni ai quesiti della verifica di autovalutazione di lunedi 15 dicembre. Ho anche migliorato qualche punto della prima parte. Mer 17/12/2014 08:30-09:30 (1:0 h) esercitazione: Trovare la minima distanza rispetto alla seminorma L2 su -pigreco, pigreco della funzione cos x dall'insieme di funzioni ax+b con a^2+b^2=1. Ripetizione del problema duale di massimo xyz su xy+2yz+2xz=16. Ripetizone dell'interpretazione geometrica della distanza L1 come area tra i grafici, dell'interpretazione geometrica della distanza uniforme, e analogia tra il prodotto scalare di L2 con il prodotto scalare euclideo. Convergenza puntuale e totale sugli intervalli chiusi della serie di funzioni 1/(1+x)+ 1/(1+x^2)+ ... 1/(1+x^n) (Vincenzo Maria Tortorelli) Mer 17/12/2014 09:30-10:30 (1:0 h) lezione: Problema duale per funzioni positivamnte omogenee e vincoli che siano insiemi di livello di valore non nullo di funzioni positivamente omogenee. Relazione in tali problemi tra i moltiplicatori e i valori critici (formula di Eulero). CONVERGENZA TOTALE in astratto come criterio sufficiente in spazi di Banach per la convergenza in norma di serie. Caso della norma uniforme: la convergenza della serie numerica degli estremi superiori implica la convergenza convergenza uniforme della serie di funzioni. From tortorel@dm.unipi.it Thu Dec 18 12:27:10 2014 Date: Thu, 18 Dec 2014 13:27:04 +0100 (CET) From: Vincenzo Tortorelli To: ingandu@mail.dm.unipi.it Subject: [Ingandu] today Gio 18/12/2014 08:30-09:30 (1:0 h) lezione: Richiami sulle serie di potenze, limite inferiore e limite superiore. Convergenza uniforme su un intervallo limitato implica convergenza L1 (ripetizione). Differenziabilita del limite di una successione di funzioni C1 con derivate parziali uniformemente convergenti su palle chiuse. DIMOSTRAZIONE in dimensione uno. DIM.Derivate di serie di potenze. Uniforme continuita' in astratto: se G e' u.c. e Fn(x) conv. unif. allora G(Fn(x)) conv. unif. Enunciato caratterizzazione sequenziale dell'iniforme continuita'. Definizione di insieme convesso.C1 su un convesso con gradiente limitato e' lipschitziana quindi u.c.. (Vincenzo Maria Tortorelli) Gio 18/12/2014 09:30-10:30 (1:0 h) esercitazione: Convergenza della serie (somma n(sin x)^n) e (somma n y^n). Convergenza uniforme di f_n(x) =2^nx/(1+ 2^n x^2) su (1+k, +oo). Non convergenza uniforme della stessa su (1, +oo). Non convergenza uniforme della serie (somma 1/(1+x^n)): uso della teoria astratta: se una successione converge uniformemente dovrebbe essere equilimitata: criteri di non convergenza uniforme: 1) f_n(x_n) non limitata, 2) se continue le f_n limite non continuo. F(x)=x^2 non e' uniformemente continua. (Vincenzo Maria Tortorelli) Riferimenti libro P.Acquistapace (per ieri) convergenza totale 2 Vol. pagg. 7-11, in astratto pagg. 56-57 serie di potenze 2 Vol. pag. 11 esercizi 2 Vol. pagg. 12-14 limiti di limiti e derivate di limiti 2 Vol. pagg. 15-20 NOTA nel libro il teorema sulla derivata del limite e' piu' raffinato di quello esposto a lezione (che si basava sulla continuita' delle derivate e sul teorema fondamentale del calcolo) esercizi pagg. 20-22 uniforme continuita 1 Vol. pagg. 309-311 esercizi 1 Vol. pag. 313 Oggio si sono illustrate le principali proprieta' delle funzioni convesse. Sottolineo che a fini pratici oltre alla caratterizzazione mediante i gradienti e la matrice Hessian e' bene tener presente che per tali funzioni: 1- i punti di minimo relativo son punti di minimo assoluto 2- se non costanti tali funzioni se assumono valore massimo lo assumomo solo sulla frontiera (relativa) del loro dominio convesso. Accludo appunti che integrano l'abbondante materiale del libro. Gio 18/12/2104 11:30-12:30 (1:0 h) lezione: Insiemi convessi: parte interna e frontiera relativa; convessi della retta; intersezione di convessi. ENUNCIATO ogni convesso relativ. chiuso e' intersezione dei semispazi chiusi che lo contengono. FUNZIONI CONVESSE; richiami in una variabile. R1 conv. se e solo se i rapporti incrementali sono crescenti R2 conv.sse. le derivate destre e sinistre sono crescenti R3 conv. sse. grafico sopra rette tangenti R3 conv.sse. derivata seconda non negative. Piu' variabili Prop1 conv sse. le composizioni con parametrizzazioni affini di (restrizioni a)rette son convesse Prop2 conv. sse. epigrafico convesso. DIM. Geometrica TEO1 i punti di min. locale di una conv. sono di min. assoluto DIM.geo.TEO2 f conv. non costante se ha massimo lo ha solo sul bordo rel. ENUNC. TEO3 f conv. su C conv. e' continua nell'interno relativo TEO4 f conv. sse. grad f monotono TEO5 f diff.: f conv. sse. grafico sopra piani tangenti DIM.:TEO 6 f C2: f conv. sse. Hessiano non negativo. (Vincenzo Maria Tortorelli) Riferimenti al libro di P.Acquistapace 1 Vol. cap. 4.12 pagg. 287-293 con esercizi BUON NATALE