COMUNICAZIONE
Paolo Acquistapace, Laura Cremaschi ed io, considerando che gli studenti presenti a lezione debbano consolidare le basi sia di calcolo differenziale e quelle di geometria analitica, riteniamo opportuno che in queste ultime due settimana si facciano principalmente esercizi. Pertanto si fara' un minimo di teoria nuova. In particolare e gli integrali di piu' variabili saranno fatti nel secondo semestre.
IERI
Mar 09/12/2014 11:30-12:30 (1:0 h) lezione: LEZIONE RECUPERO VISITA SAIE. Ricapitolazione degli schemi per lo studio dei valori estremi e dei punti estermali di funzioni di piu' variabili. Frontiera. Gradiente tangenziale = proiezione ortogonale del gradiente in un punto della k-variata' sul k-spazio tangente ad essa nel punto. DIMOSTRAZIONE: due funzioni che conicidono su una varieta' hanno lo stesso gradiente tangenziale. Punti critici tangenziali = il gradiente e' ortogonale alla varieta'. Per varieta' date come luoghi di zeri locali nelle ipotesi del Dini punto critico tangenziale = combinazione lineare dei gradienti delle funzioni che danno il luogo di zeri.DIMOSTRAZIONE: moltiplicatori di Lagrange e Lagrangiana.Curve di massima pendenza (flussi -gradiente) criterio affinche' un minimo locale alla frontiera sia minimo locale nel dominio. (Vincenzo Maria Tortorelli) Mar 09/12/2014 12:30-13:30 (1:0 h) esercitazione: ESERCITAZIONE RECUPERO VISITA SAIE. Valori estermi di x+y+z nell'ottante positivo con xyz=1: esitenza del minimo con limiti all'infinito e al bordo +oo, unicita' del punto stazionario vincolato (Lagrange), valore minimo 3. Deduzione della diseguaglianza: x+y+z maggiore eguale a 3 radice cubica (xyz). ALtro metodo: riduzione a due variabili libere z=1/xy. Dimostrazione diseguaglianza tra media aritmetica e media geometrica. ESERCIZI LASCIATI: penultimo tema esercizio 6 del foglio 4 p.ti e val. di mas. e min. rel. per exp[-x^2+y -z^2] su x^2/4 +y^2+ 3z^2 minore eguale ad 1; ultimo tema (difficile se completo) ibidem eadem x^2+y^2+z^2 sul vincolo (z+1)^2 -y^2 -(x+3)^2=0, z^2+y^2-(x+1)^2=0 z maggiore di -3. (Vincenzo Maria Tortorelli)
OGGI
Mer 10/12/2014 14:30-15:30 (1:0 h) lezione: RIASSUNTO della lezione di recupero: gradiente tangenziale e significato geometrico dei moltiplicatori. RIASSUNTO uso dei moltiplicatori per dimostrare la diseguaglianza tra media aritmetica e media geometrica di n numeri non negativi (omessa l'esistenza del minimo nel riassunto). (Vincenzo Maria Tortorelli)
Mer 10/12/2014 15:30-16:30 (1:0 h) esercitazione: RISOLUZIONE ESERCIZI LASCIATI: penultimo tema prima facciata esercizio 6 del foglio 4 p.ti e val. di mas. e min. rel. per exp[-x^2+y -z^2] su x^2/4 +y^2+ 3z^2 minore eguale ad 1: riconoscimento ellissoide; esistenza massimo e minmo assoluto; nessun punto critico interno; punti critici tangenziali alla frontiera: quelli di valore massimo e minimo sono necessariamente i punti di massimo e minimo assoluto su tutto il dominio. Per il rimanente lungo un asse la funzione cresce, nella direzione x/2=z e' di massimo relativo sulla frontiera.
Ultimo tema (difficile se completo) ibidem eadem x^2+y^2+z^2 sul vincolo (z+1)^2 -y^2 -(x+3)^2=0, z^2+y^2-(x+1)^2=0 z maggiore di -3: riconoscimento dei due coni nello spazio e di iperboli e cerchi nel piano; regolarita' del vincolo ; ricerca dei punti critici tangenziali con Lagrange. Da finire: natura di tali punti critici. (Vincenzo Maria Tortorelli)