Ven 31/10/2014 11:30-12:30 (1:0 h) lezione: Grafico f:A->Rm, A in R= immagine di g:A->R(m+d), g(x)=(x, f(x))=insieme di livello di F:AxRm->Rm, F(x,z)= f(x)-z. f differenziabile in p: il tangente al grafico in P=(p,f(p)) e': 1- graf.della funz. lineare d_pf x traslato in P; 2- immagine della funz.lin. (x,d_pf x)=d_p (y,f(y)) x tras. in P; 3- nucleo della funz. lin. d_pfx - z= d_(p,v)(f(y)-v)(x,z) tras. in P. SLOGAN:1 tangente a grafico e' grafico traslato del differenziale, 2 tan. a immagine e' l'immagine tras. del diff., 3 tan. a luogo di zeri e' il nucleo tras. del diff.. DOMANDE: A)L'immagine di g:A->Rh vicino a p in A e' grafico di f: Rd->R(h-d)? E' vero 2? permette di non calcolare f per trovare il tangente. B)L'insieme di livello di F:Rh->Rm vicino a p e' grafico di una f:R(h-m)->Rm? E' vero 3? DIM. derivata f(c(t)), t in R. DIM. Teo.9 grad f(p) non nullo direzione di massima pendenza in p, sua norma massima pendenza, ortogonale alle curve per p a valori in {f(x)=f(p)}. (Vincenzo Maria Tortorelli)

Riferimenti libro Acquistapace:

Derivabilita' della composizione con curve: 1 Vol. cap.4.5 pag.241 (non usa il lemma che immagine lineare di un `o' e' un `o' la dimostrazione e' un pochino piu' lunga di quella vista a lezione).

Gradiente come direzione di massima pendenza e ortogonalita' alle curve con valori nell'insime di livello: 1 Vol. cap.4.2 pagg.226-227.

ATTENZIONE, ATTENZIONE: la trattazione fatta nel libro dell'ortogonalita' alle pagg.227-228 e' molto piu' difficile di quella esposta a lezione: qui dimostra gia' che l'insieme di livello ha un piano tangente. Invece a lezione abbiamo semplicemente detto che se una curva c(t) e' a valori nell'insieme di livello {x: f(x)=f(p)} e c(0)= p allora grad f(p) e' ortogonale a c'(0), semplicemente derivando la relazione f(c(t))= f(p).

immagini: 2 Vol. cap. 1.9 pag. 93 osservazione preliminare al teorema del rango pagg.95-96 osservazioni ed esempi. 2 Vol. cap. 4.9 pag. 451-453.

luoghi di zeri: 2 Vol.cap.1.9 esempi ed osservazioni pagg.72-73 , pag.88, esempio 1.9.4 pag. 76, osservazioni preliminari al teorema di invertibilita' pag. 93.