Su alcune componenti dello schema di Hilbert di
"scrolls" di grado d e genere g
Argomento: Geometria
L'obiettivo di questo seminario e' quello di presentare alcuni risultati
recenti, ottenuti in collaborazione con A. Calabri, C. Ciliberto e R. Miranda.
Essi riguardano alcune questioni di degenerazioni di superfici lisce, immerse in
spazi proiettivi, che sono rigate in rette
(scrolls), di grado d e di genere
sezionale g, un qualsiasi intero non-negativo.Questa e' una problematica che ha
le sue radici gia' dagli anni 40-50, periodo in cui Guido Zappa si era
interessato al problema di estendere al caso delle superfici risultati classici
di degenerazioni di curve proiettive di grado d e genere g, a moduli generali,
ad una stick-curve,
i.e. ad una (opportuna) unione di rette con solo nodi
come singolarita'.Tali argomenti, si sono sviluppati via via nel tempo e hanno
trovato numerose applicazioni non necessariamente nella sola Geometria Algebrica
delle superfici.Nei suoi ragionamenti, Zappa si era gia' accorto che,
contrariamente al caso delle curve, anche per classi particolari di superfici
quali e.g. gli
scrolls, le singolarita' "normal-crossings" non erano
sufficienti per poter descrivere degenerazioni di esse ad un'unione di piani.
Egli cercava quindi la tipologia di singolarita' che fosse naturale e
sufficiente a far
degenerare quante piu' possibili superfici ad un'unione di
piani.Nel seminario presentiamo il risultato, da noi prodotto con tecniche
differenti dai ragionamenti di Zappa, di degenerazione di scrolls di genere
sezionale g>=0, grado d> 2g +3, e linearmente normali in P^r, dove r =
d-2g +1.Discutiamo, inoltre, risultati prodotti che studiano alcune componenti
dello schema di Hilbert di tali scrolls, che risultano dominare lo spazio
dei moduli delle curve di genere g.Infine, se il tempo lo permette, verra'
presa in esame brevemente
l'interessante strategia che G. Zappa aveva in
mente per tentare di dimostrare risultati analoghi ai nostri.
Rational blow-down and small exotic
4-manifolds
Argomento: Geometria
Abstract:
It is known that most simply connected 4-manifolds admit
infinitely many "exotic" smooth structures, but the existence of such structures
is still unknown for S^4 and CP^2. We report on the current state of art
of exotic structures on rational surfaces, and review how such structures can be
constructed. The main ingredients are the rational blow-down process and the
computation of appropriate Seiberg-Witten
invariants. We also discuss the
classification of plumbing trees which can be symplectically blown down.
Remarks on the variational nature of heat equation and
motion by mean curvature
abstract:
We show that the classical solution of the heat equation can be
seen as the minimizer of a suitable functional defined in space-time. Using
similar ideas, we introduce a functional $\mathcal F$ on the class of space-time
tracks of moving hypersurfaces,
and we relate minimizers of $\mathcal F$ to
solutions
of mean curvature flow.
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venerdi' 17-03-2006 (16:00) - Sala seminari
M. Ruzhansky
(Imperial College, Londra) :
On certain hyperbolic systems with variable
multiplicities
Sunto:
We will consider hyperbolic systems of PDEs with variable
coefficients and variable multiplicities. We will discuss generic properties of
solutions under the assumption that the principal part of the system is
microlocally diagonalisable. We will derive sharp regularity properties in
Sobolev spaces, propagation of singularities and representation of
solutions.
We will also establish Weyl's formula for the corresponding
elliptic system.
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mercoledi' 22-03-2006 (18:00) - Sala delle riunioni
Davide
Ferrario (Universita' di Milano Bicocca.) :
Variational methods and symmetric orbits for the
n-body problem.
Argomento: Analisi Matematica
Abstract: Periodic and quasi-periodic orbits for the $n$-body problem can be
found as critical points of the action functional constrained to the space of
equivariant loops. Without strong-force assumptions, existence and properties of
symmetric collisionless (quasi-)periodic orbits can be proved to exist by
such equivariant variational methods, provided the
symmetry group fulfills
some simple assumptions. As a consequence, global and local optimization
numerical techniques can be used to determine and visualize approximations of
such periodic orbits.
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