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RELATORI: Giovanni Conforti (Università di Padova) e Giacomo Greco (Università di Roma Tor Vergata)
TITOLO: Una passeggiata sui ponti di Schrödinger: dalla meccanica statistica all’algoritmo di Sinkhorn.
RIASSUNTO: Nel 1931, E.Schrödinger si interessò al problema di calcolare l’evoluzione più probabile di una nube di particelle Browniane indipendenti condizionatamente all’osservazione della loro configurazione agli istanti iniziale e finale. In linguaggio moderno, questo problema, detto problema di Schrödinger, viene formulato rigorosamente attraverso la teoria delle grandi deviazioni come un problema di minimizzazione entropica con vincoli marginali.
Molti anni dopo, T.Mikami scoprì che il problema di Schrödinger converge verso il problema del trasporto ottimo, detto di Monge-Kantorovich, nel limite di rumore piccolo. Questo collegamento, che permette di vedere il problema di trasporto entropico come una regolarizzazione del problema deterministico, è stato largamente sfruttato negli ultimi anni nel contesto dello statistical machine learning. Il motivo principale di questo interesse è che il problema del trasporto entropico si può risolvere con un algoritmo veloce e di facile implementazione, l’algoritmo Sinkhorn.
Tale algoritmo, introdotto negli anni '60, richiede solamente alcune semplici operazioni tra matrici, come la moltiplicazione componente per componente: in particolare, non è necessaria alcuna inversione di matrice. Dal punto di vista teorico, l’attrattiva principale risiede nella convergenza esponenziale nel numero di iterazioni. Tuttavia, la comprensione di questo fenomeno è ancora incompleta, per esempio nel caso base del costo quadratico, e più in generale per problemi di trasporto con costi non limitati e marginali a supporto non compatto. Anche per misure discrete, ci sono ancora numerose questioni aperte, per esempio riguardo alla dipendenza del tasso di convergenza dal parametro di regolarizzazione.
L’obiettivo della prima parte di questo seminario è di introdurre il problema di Schrödinger come problema di meccanica statistica, esporre il collegamento con il problema di Monge Kantorovich, e introdurre l’algoritmo di Sinkhorn. Nella seconda parte il seminario si concentrerà sul problema della convergenza esponenziale, offrendo una panoramica su risultati più o meno recenti e le diverse tecniche di dimostrazione, e presentando alcune domande aperte.