Salve:
Gio 16/10/2014 08:30-10:30 (2:0 h) lezione: LINGUAGGIO COMUNE: DIMOSTRAZIONE diseguaglianze tra norme in Rd e convergenza per componenti.Punti interni, aperti, chiusi, densi: Dens. unif. dei polinomi in C[a,b] Berstein. Limitati, funzioni limitate DIM.chiuso sse chiuso per successioni. Limiti all'infinito in spazi normati. Successioni di Cauchy DIM. loro totale limitatezza. COMPLETEZZA DIM. in completo: compatto se e solo se chiuso e tot. lim.. DIM. Rd e' completo, DIM. le funzioni limitate a valori in un completo sono un completo con la distanza uniforme. ESERCIZI LASCIATI: 1) total. limitato e' limitato, 2) limite unif. di funz. cont. e limitate in un completo e' continuo. DIM. BOLZANO WEIERSTRASS chiuso e limitato in Rd e' compatto. DIM. WEIERSTRASS Una funzione in R continua su un compatto assume su esso valore massimo e minimo. Caratterizzazione sequenziale delle continue, caratterizzazione con preimmagini delle continue. Composizione di continue e' continua.
Allego una lunga lista di esercizi, mi scuso se vi fossero refusi.
Rapido riferimento al libro di Acquistapace per quanto oggi svolto:
http://www.dm.unipi.it/~acquistp/inge.html
Anticipo pero' che questa volta vi e' qualche differenza rispetto a quanto svolto a lezione.
Aperti e chiusi euclidei, Teoremi di Bolzan-Weierstrass(differente argomento dala quello di stamani a lezione con la successione di cubi di volta in volta dimezzati) e Weiestrass euclidei: 1 vol. cap. 3.1 pagg. 168-175 con esercizi
Funzioni continue caso euclideo: 1 vol. cap 3.3 pag. 190, esercizi 9, 10 pag. 193, cap. 3.4 pag.195
Compattezza ( vi e' un'altra definizione e si dimostra equivalente a quella vista a lezione): 2 vol. cap 1.6 teo. 1.6., Weiestrass e' nell'esercizo 5 pag.44, mentre gli esercizi 3 pag. 43 e 4 pag. 44 mostrano che Bolzano Weiestrass non e' vero indimensione infinita, gli esercizi 9/10 pag. 45 iniziamp a spiegare la totale limitatezza vista a lezione.
Convergenza uniforme 2 vol. cap. 1.1-1.2 pagg.4-10 (esercizi pagg.12-14), pag.15 teorema 1.2.1 e' quanto vi avevo lasciato da fare come esercizio a lezione
Completezza 2 vol. cap.1.7 pag.45, a pag. 46 proposizione 1.7.4 caratterizza i compattio con i totalmenti limitati e completi (il teorema 1.7.5 e' parte di quella vista a lezione della completezza per la norma uniforme delle funzioni limitate) , a pag. 49 il teorema di densita' uniforme dei polinomi nello spazio delle funzioni continue su un intervallo.
Bene a domani
VMT